9 svar
442 visningar
Natascha 1262
Postad: 15 sep 2019 18:15

Bevisa två samband.

Hej. 

Jag skulle behöva hjälp hur jag stegvis kan se följande samband ur den information som uppgiften ger mig. Jag har lite svårt att se det. 

pepparkvarn 1871 – Fd. Medlem
Postad: 15 sep 2019 18:24

Ledtråd: Det verkar som att vinklar som ligger på ett visst avstånd från noll respektive nittio grader uppvisar liknande tal. 

Spoiler alert!

Hur är det med cos(90°-v) och sin(90°-v)? :)

Natascha 1262
Postad: 15 sep 2019 18:29

Ja visst är det dem sambanden som visas i enhetscirkeln. 😊😊

Men jag tänkte ifall man kan bevisa följande  pepparkvarn? Kan du hjälpa mig med att bevisa exempelvis: cos(90-v) ? Hur gör jag det? 

Ska jag döpa en vinkel till 90-v då? 

pepparkvarn 1871 – Fd. Medlem
Postad: 15 sep 2019 18:45

Det går att bevisa, men beviset (åtminstone det jag tänker på) bygger på subtraktionsformeln för cosinus och sinus, vilka i sig går att bevisa med hjälp av enhetscirkeln. Detta kommer dock först i Ma4, om jag inte minns fel. Subtraktionsformlerna säger  att cos(u-v)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v) och sin(u-v)=sin(u)cos(v)-cos(u)sin(v). Om du sätter in vinkeln 90°-v90^{\circ}-v får du att cos90°-v=cos90°cos(v)+sin(90°)sin(v)=sinv och att sin(90°-v)=sin(90°)cos(v)+cos(90°)sin(v)=cos(v). Om du vill bevisa subtraktionsformlerna finns det en video om detta som är bra. Alla fyra bevis görs på ungefär samma sätt. :)

Natascha 1262
Postad: 15 sep 2019 18:50

Så det betyder att vi i Ma3c inte ska syssla med att bevisa sådant utan mer som att läsa av utifrån given info vilken/vilka som gäller? 

pepparkvarn 1871 – Fd. Medlem
Postad: 15 sep 2019 19:42

Mycket riktigt. Du förväntas kunna använda enhetscirkeln för att konstatera att ja, jo det tycks stämma. Om du vill studera beviset är det såklart positivt, men det är inte nödvändigt för att klara kursen. :)

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 15 sep 2019 19:47

Det är meningen att du skall kunna rita in lämpliga rätvinkliga trianglar i enhetscirkeln, använda definitionerna av sinus och cosinus för en tätvinklig triangel och därifrån härleda en massa matnyttiga samband.

PATENTERAMERA 5989
Postad: 15 sep 2019 20:08 Redigerad: 15 sep 2019 20:08

Det bygger på att byte av x och y koordinat motsvarar en reflektion i linjen y = x. Men det är inte helt trivialt att visa.

Det vill säga om vi speglar punkten (a , b) i linjen y = x så får vi punkten (b, a) men om man inte vet detta tycker jag frågan är svår att fatta.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 15 sep 2019 20:30
PATENTERAMERA skrev:

Det bygger på att byte av x och y koordinat motsvarar en reflektion i linjen y = x. Men det är inte helt trivialt att visa.

Det vill säga om vi speglar punkten (a , b) i linjen y = x så får vi punkten (b, a) men om man inte vet detta tycker jag frågan är svår att fatta.

Nej, jag skulle föreslå at man ritar en rätvinklig triangel med hypotenusan OP och den ena kateten längs positiva x-axeln och en annan triangel med hypotenusan OQ och ena kateten längs positiva y-axeln och att man sedan använder definitionerna att cos(v) = närliggande katet/hypotenusa och att sin(v)= motstående katet/hypotenusa. Detta tillsammans med att man vet att P har koordinaterna (a,b) och att Q har koordinaterna (b,a) gör att man kan få fram två samband mellan de trigonometriska värdena för vinklarna v respektive 90o-v.

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 15 sep 2019 22:04 Redigerad: 15 sep 2019 22:07

Ett alternativt resonemang: Det är välkänt att för vinkeln v gäller: cosv\cos v är x-koordinaten för P, respektive sinv\sin v är y-koordinaten för P. Se nedanstående figur.

Vidare gäller att (för röd vinkel):  cos(90°-v)\cos (90^\circ-v) är x-koordinaten för Q, sin(90°-v)\sin (90^\circ-v) är y-koordinaten för Q. Vi noterar att cosv=a=sin(90°-v)\cos v=a=\sin (90^\circ-v). Analogt för sinv\sin v. Kontrollera!

Svara
Close