Bevisa sats, linjär algebra

Ska det inte stå "linjärt oberoende" i i)?

i) v1, ... , vn är linjärt beroende

Har du tappat bort ett "o" i "oberoende, eller skall det verkligen stå "beroende"?

Ni har rätt, det försvann ett ”o” där. Ska vara linjärt oberoende.

• Att vektorerna $v_1,\ldots,v_n$ spänner upp $V$ betyder att varje vektor i $V$ kan skrivas som en linjärkombination av dessa vektorer.
• Att vektorerna $v_1,\ldots,v_n$ är en bas till $V$ betyder att varje vektor i $V$ kan skrivas som en linjärkombination av dessa vektorer och att dessa vektorer är linjärt oberoende.
• Att $V$ har dimensionen $n$ betyder att $V$ innehåller $n$ stycken linjärt oberoende vektorer som spänner upp $V$.

Implikationen $i\implies ii$ kan visas med motsägelsebevis.

Låt $v_1,\ldots,v_n$ vara linjärt oberoende och anta att det finns en noll-skild vektor $u\in V$ som inte kan skrivas som linjärkombination av dessa vektorer. Då är de $(n+1)$ stycken vektorerna $v_1,\ldots,v_n$ och $u$ linjärt oberoende, vilket medför att vektorrummets dimension är $n+1$, eller större. Detta är en motsägelse.

Albiki skrev:

Implikationen $i\implies ii$ kan visas med motsägelsebevis.

Låt $v_1,\ldots,v_n$ vara linjärt oberoende och anta att det finns en noll-skild vektor $u\in V$ som inte kan skrivas som linjärkombination av dessa vektorer. Då är de $(n+1)$ stycken vektorerna $v_1,\ldots,v_n$ och $u$ linjärt oberoende, vilket medför att vektorrummets dimension är $n+1$, eller större. Detta är en motsägelse.

Tack Albiki!

Försökte bevisa att ii)=>i) såhär (du får gärna rätta mig om jag gjort fel):

Antag att vektorerna v1,...,vn spänner upp vektorrummet V. Vi ska visa att då är v1,...,vn är linjärt beroende. Då kan varje vektor u i V som mest skrivas som en linjär kombination av n-m linjärt oberoende vektorer. Då spänner n-m upp V. Detta skulle göra att vektorrummet Vs dimension är n-m. Vilket är en motsägelse då Vs dimension är n. Därför måste vektorerna v1,...,vn vara linjärt oberoende om v1,...,vn spänner upp V.

Du skriver om $m$, men vad är $m$?

Albiki skrev:

Du skriver om $m$, men vad är $m$?

m är antalet överflödiga vektorer i V.

lamayo skrev:

Albiki skrev:

Du skriver om $m$, men vad är $m$?

m är antalet överflödiga vektorer i V.

Har du läst ditt eget inlägg? Där står det inget om att $m$ är antalet "överflödiga" vektorer i V, vad nu "överflödig" vektor är för något.

Du utgår från att de $n$ stycken vektorerna $v_1,\ldots,v_n$ spänner $V$ och du vet att $V$ spänns upp av $n$ stycken linjärt oberoende vektorer, $b_1,\ldots, b_n$. Du ska visa att $v_1,\ldots,v_n$ måste vara linjärt oberoende.

lamayo skrev:

Albiki skrev:

Implikationen $i\implies ii$ kan visas med motsägelsebevis.

Låt $v_1,\ldots,v_n$ vara linjärt oberoende och anta att det finns en noll-skild vektor $u\in V$ som inte kan skrivas som linjärkombination av dessa vektorer. Då är de $(n+1)$ stycken vektorerna $v_1,\ldots,v_n$ och $u$ linjärt oberoende, vilket medför att vektorrummets dimension är $n+1$, eller större. Detta är en motsägelse.

Tack Albiki!

Försökte bevisa att ii)=>i) såhär (du får gärna rätta mig om jag gjort fel):

Antag att vektorerna v1,...,vn spänner upp vektorrummet V. Vi ska visa att då är v1,...,vn är linjärt beroende. Då kan varje vektor u i V som mest skrivas som en linjär kombination av n-m linjärt oberoende vektorer. Då spänner n-m upp V. Detta skulle göra att vektorrummet Vs dimension är n-m. Vilket är en motsägelse då Vs dimension är n. Därför måste vektorerna v1,...,vn vara linjärt oberoende om v1,...,vn spänner upp V.

Nu skriver du linjärt beroende igen! Menar du verkligen detta, eftersom det är andra gången du skriver detta?

Anta att $c_1v_1+\cdots+c_nv_n=0.$ Då är

    $\displaystyle c_1(a_{11}b_1+\cdots+a_{1n}b_n)+\cdots+c_n(a_{n1}b_1+\cdots+a_{nn}b_n) = (c_1a_{11}+\cdots+c_na_{n1})b_1+\cdots+(c_1a_{1n}+\cdots+c_na_{nn})b_n$

och eftersom b-vektorerna bildar en bas måste samtliga b-koefficienter vara noll. Detta ger det linjära ekvationssystemet $Ac = 0$ där matrisen $A$ är inverterbar eftersom b-vektorerna bildar en bas. Systemet har därför den enda lösningen $c=0$ vilket visar att v-vektorerna är linjärt oberoende. 

Albiki skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

Albiki skrev:

Implikationen $i\implies ii$ kan visas med motsägelsebevis.

Låt $v_1,\ldots,v_n$ vara linjärt oberoende och anta att det finns en noll-skild vektor $u\in V$ som inte kan skrivas som linjärkombination av dessa vektorer. Då är de $(n+1)$ stycken vektorerna $v_1,\ldots,v_n$ och $u$ linjärt oberoende, vilket medför att vektorrummets dimension är $n+1$, eller större. Detta är en motsägelse.

Tack Albiki!

Försökte bevisa att ii)=>i) såhär (du får gärna rätta mig om jag gjort fel):

Antag att vektorerna v1,...,vn spänner upp vektorrummet V. Vi ska visa att då är v1,...,vn är linjärt beroende. Då kan varje vektor u i V som mest skrivas som en linjär kombination av n-m linjärt oberoende vektorer. Då spänner n-m upp V. Detta skulle göra att vektorrummet Vs dimension är n-m. Vilket är en motsägelse då Vs dimension är n. Därför måste vektorerna v1,...,vn vara linjärt oberoende om v1,...,vn spänner upp V.

Nu skriver du linjärt beroende igen! Menar du verkligen detta, eftersom det är andra gången du skriver detta?

Jag tänkte att jag kan visa att det blir motsägelse då. 

Albiki skrev:

Anta att $c_1v_1+\cdots+c_nv_n=0.$ Då är

    $\displaystyle c_1(a_{11}b_1+\cdots+a_{1n}b_n)+\cdots+c_n(a_{n1}b_1+\cdots+a_{nn}b_n) = (c_1a_{11}+\cdots+c_na_{n1})b_1+\cdots+(c_1a_{1n}+\cdots+c_na_{nn})b_n$

och eftersom b-vektorerna bildar en bas måste samtliga b-koefficienter vara noll. Detta ger det linjära ekvationssystemet $Ac = 0$ där matrisen $A$ är inverterbar eftersom b-vektorerna bildar en bas. Systemet har därför den enda lösningen $c=0$ vilket visar att v-vektorerna är linjärt oberoende. 

Aha, tack!

Albiki skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

Albiki skrev:

Du skriver om $m$, men vad är $m$?

m är antalet överflödiga vektorer i V.

Har du läst ditt eget inlägg? Där står det inget om att $m$ är antalet "överflödiga" vektorer i V, vad nu "överflödig" vektor är för något.

Kan man skriva att m är antalet vektorer som är multiplar av en annan vektor?