Bevisa resttermen i taylorutvecklingen

Hur kan man bevisa att resttermen i en Taylorutveckling är $R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} {(x - a)}^{(n + 1)}, f ö r n å g o t ξ m e l l a n x o c h a ?$

Jag har kikat in Wikipedias bevis, men förstår det inte riktigt.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Lagranges_restterm

Jag förstår att $R_{n} (x) = f (x) - p (x), R_{n} (a) = 0, R ´_{n} (a) = 0, . . ., {R^{(n)}}_{n} (a) = 0$

Vad menas sedan med ${R^{(n + 1)}}_{n} (x) = f^{(n + 1)} (x), x \in I$ ? Hur vet man att de är lika och vad är I?

Tacksam för hjälp!

En funktion och dess motsvarande Taylorpolynom har samma värde på funktionen, derivatan, andraderivatan, och så vidare, hela vägen ned till n:te derivatan. Därefter kan de skilja sig. Om du tar n+1:te derivatan av Taylorpolynomet, får du noll. Värdet på resttermen är då värdet på funktionen, eftersom det är vad som skiljer sig mellan Taylorpolynomet och funktionen. :) I antar jag är intervallet i fråga.

Edit: Detta är inte hela sanningen, glöm det.

I många läroböcker (t ex Adams, kap. 4), bevisas Lagranges restterm genom induktion.

(Basfallet $n=0$ är inget annat än medelvärdessatsen för något $\xi$ mellan a och x).

tack!

Svara

Visa senaste svar