Bevisa reflektionsformeln

Kan du rita en bild?

Först måste man formulera någon definition av vad en reflektion i en annan vektor är i matematiska termer (att hjärnan har en implicit definition och förmåga att känna igen reflektioner informellt räcker inte för bevis). 

Definitionen kan vara språklig, symbolisk eller visuell men man måste börja med den.

(Om denna formel tas som definitionen så finns inget att bevisa)

När du väl har en definition kan så kain man gå vidare med att försöka formulera ett bevis genom någon standardmetod såsom kontroll, motsägelsebevis, induktion, osv.

Hej!

En formell definition av reflektion är som en avbildning $T : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ som är en isometri och en involution.

För att visa att $ref_{v}$ är en reflektion ska du visa att $ref_{v}$ är en avbildning som

• avbildar $\mathbb{R}^{n}$ till $\mathbb{R}^{n}$; 
• är sådan att $|ref_{v}(u)| = |u|$ för varje $u \in \mathbb{R}^{n}$;
• är sådan att $ref_{v}(ref_{v}(u)) = u$ för varje $u \in \mathbb{R}^{n}$.

Definitionen av avbildningen $ref_v$ är $ref_v(u) = 2 (v\cdot u)v - u$ och eftersom både $v$ och $u$ är element i vektorrummet $\mathbb{R}^n$ så är varje linjärkombination av dem även det, speciellt gäller detta linjärkombinationen $ref_v(u)$; detta tar hand om det första kravet som avbildningen $ref_v$ måste uppfylla. 

Vad gäller isometrin så är $|ref_v(u)|^2 = |2(v\cdot u)v - u|^2 = |u|^2$ eftersom $v \cdot u = u \cdot v$.

Jag överlåter till dig att visa avbildningens involutiva egenskap.

Albiki skrev:

Definitionen av avbildningen $ref_v$ är $ref_v(u) = 2 (v\cdot u)v - u$ och eftersom både $v$ och $u$ är element i vektorrummet $\mathbb{R}^n$ så är varje linjärkombination av dem även det, speciellt gäller detta linjärkombinationen $ref_v(u)$; detta tar hand om det första kravet som avbildningen $ref_v$ måste uppfylla. 

Vad gäller isometrin så är $|ref_v(u)|^2 = |2(v\cdot u)v - u|^2 = |u|^2$ eftersom $v \cdot u = u \cdot v$.

Jag överlåter till dig att visa avbildningens involutiva egenskap.

 $$\begin{gathered} re{f}_{\stackrel{\rightharpoonup }{v}}\left(re{f}_{\stackrel{\rightharpoonup }{v}}\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right)=2\left(\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right(2\stackrel{\rightharpoonup }{v}\stackrel{\rightharpoonup }{u}\stackrel{\rightharpoonup }{v}-\stackrel{\rightharpoonup }{u}\left)\right)\stackrel{\rightharpoonup }{v}-(2\stackrel{\rightharpoonup }{v}\stackrel{\rightharpoonup }{u}\stackrel{\rightharpoonup }{v}-\stackrel{\rightharpoonup }{u})= \\ =\left\{\begin{array}{l}\stackrel{\rightharpoonup }{v}\stackrel{\rightharpoonup }{u}=K, där K är en kons\tan t.\\ \end{array}\right.=2\left(\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right(2K\stackrel{\rightharpoonup }{v}-\stackrel{\rightharpoonup }{u}\left)\right)\stackrel{\rightharpoonup }{v}-(2K\stackrel{\rightharpoonup }{v}-\stackrel{\rightharpoonup }{u})= \\ =2(2K\stackrel{\rightharpoonup }{v}\stackrel{\rightharpoonup }{v}-\stackrel{\rightharpoonup }{u}\stackrel{\rightharpoonup }{v})\stackrel{\rightharpoonup }{v}-(2K\stackrel{\rightharpoonup }{v}-\stackrel{\rightharpoonup }{u})=2K\stackrel{\rightharpoonup }{v}-2K\stackrel{\rightharpoonup }{v}+\stackrel{\rightharpoonup }{u}=\stackrel{\rightharpoonup }{u} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{v}\stackrel{\rightharpoonup }{v}=1 eftersom ref\left(\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right)=2projv\left(\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right)-u=2\left(\stackrel{\rightharpoonup }{v}\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right)\stackrel{\rightharpoonup }{v}-\stackrel{\rightharpoonup }{u}, vilket endast \\ gäller om \stackrel{\rightharpoonup }{v}*\stackrel{\rightharpoonup }{v}=1. \end{gathered}$$