Bevisa pythagoras sats med skalärprodukten
Om vi har pilar i planet med addition och skalärmultiplikation definierade som man brukar. Inför nu skalärprodukten mellan två pilar enligt a•b=|a||b|cos(x) där x är vinkeln mellan pilarna och |a| längden av pil a. Då fås direkt:
a•a=|a|2
Med addition och skalärlmultiplikation kan varje pil a skrivas som linjärkombination av två ortogornala pilar med längd 1
a•a = (xex + yey)•(xex+ yey)=x2 + y2
Likheter
|a|2 = x2+ y2
Fungerar detta som bevis?
Det korta svaret skulle jag säga är nej, beviset är ofullständigt.
x är vinkeln mellan pilarna, sedan inför du x som längden av en katet.
Så steg 1 är att byta namn på vinkeln x till vinkeln v.
Steg 2: Varje ”a kan skrivas som en linjärkombination av två ortogonala pilar med längd 1”.
Du kan tala om att x och y är skalärer och att pilarna är ex och ey. Helst skulle du ha fetstil för vektorer, det är rörigt att läsa annars.
Steg 3: Du får a*a = x2 ex*ex + 2xy ex*ey + y2 ey*ey
Varför försvinner mittentermen? Varför är skalärprodukten av ortogonala pilar 0?
Du kan förklara att ek*ek = 1 av samma skäl som a*a = (beloppet av a)2
Tack för svar! Det blev lite för otydligt vid steg tre. Men det går väl att lösa med att definiera ortogonalitet för två pilar som att vinkeln mellan dem är 90 grader.
Jag håller med. Det är ju i linje med uppgiften, att använda cosinus för beviset.
