Bevisa periodicitet

Vad blir h(x + 4)?

Värdemängden är { (-14/5), -2, (-6/5) } . Defmängd Z. 

h(1)= h(1+4)= -14/5

Jag tycker mig ha resonerat kring varför detta uppstår, att oavsett värde på x så begränsas det totala värdet av att (sin ∙ 5x ∙ pi/2) endast kan anta värdena -1, 0 eller 1, men det är inte tillräckligt tydligt för att bevisa periodiciteten.. Jag vet inte i vilken form beviset kan/ska uttryckas? 

Dr. G skrev:

Vad blir h(x + 4)?

 Detta var kanske menat som tankehjälp..? Tack! -men jag förstår inte ändå.. 

Hur ser funktionen $h(x)$ ut egentligen? Skall det vara $h[x]=-\frac{4}{5}\sin(\frac{5\pi}{2}x)-2$ ? Din värdemängd tyder på detta, men du har skrivit något konstigt, med $\sin\cdot5x$i mitten, men $\sin\cdot$ har ingen matematisk betydelse som jag känner till.

För att bevisa periodiciteten skall du sätta in $(x+4)$ där det står $x$ i formeln för $h(x)$ och förenkla med hjälp av additionsformeln för sinus.

Smaragdalena skrev:

Hur ser funktionen $h(x)$ ut egentligen? Skall det vara $h[x]=-\frac{4}{5}\sin(\frac{5\pi}{2}x)-2$ ? Din värdemängd tyder på detta, men du har skrivit något konstigt, med $\sin\cdot5x$i mitten, men $\sin\cdot$ har ingen matematisk betydelse som jag känner till.

För att bevisa periodiciteten skall du sätta in $(x+4)$ där det står $x$ i formeln för $h(x)$ och förenkla med hjälp av additionsformeln för sinus.

 Den ser ut som du skrev, jag skrev den på det andra sättet för att underlätta mitt tänkande ("sinus för x antal pi-halva"). 

Additionsformeln har jag kollat upp och känner igen vagt, men förstår inte på vilket sätt jag ska använda den. Är funktionen jag ska förenkla $h[x+4]=-\frac{4}{5}\sin(\frac{5\pi}{2} (x+4))-2$ ..? 

$Sin\frac{5\pi}{2}$ = 1

$Sin(x+4)=sin x\cdotcos4+cosx\cdotsinx$ ...? (Detta stämmer förmodligen inte, för det ger mig ju inga värden att jobba med?) 

Jag förstår varken vad det är hos additionsformeln för sinus som gör att den bevisar periodiciteten, eller hur den ska användas i mitt fall.. 

Hej!

Du studerar alltså funktionen

    $h(x) = -\frac{4}{5}\sin \frac{5\pi x}{2} - 2$

vars definitionsmängd är de hela talen, $D_h = \mathbb{Z}$.

Funktionen är periodisk om det finns ett tal $T$ (kallad perioden) sådan att

    $h(x+T) = h(x)$ för alla $x \in D_h$.

Anta att det finns ett sådant tal och låt $x \in D_h$ vara godtyckligt valt. Det gäller att studera kravet

    $\displaystyle -\frac{4}{5}\sin\frac{5\pi(x+T)}{2} - 2 = -\frac{4}{5}\sin \frac{5\pi x}{2} - 2 \iff \sin \frac{5\pi (x+T)}{2} = \sin \frac{5\pi x}{2}.$

Börja med ett enklare exempel. Säg att du haft:

$y=f(x)=\sin x$

Hur skulle du då visa att:

$f(x+2\pi)=f(x)$?

Med hjälp av additionsformel för sinusfunktionen kan man skriva ett uttryck $\sin a - \sin b$ på formen

    $2\sin\frac{a-b}{2}\cos\frac{a+b}{2}.$

Det betyder att kravet som perioden måste uppfylla kan skrivas

    $\displaystyle\sin \frac{5\pi(x+T)}{2} - \sin\frac{5\pi x}{2} = 0 \iff 2\sin\frac{\frac{5\pi(x+T)}{2}-\frac{5\pi x}{2}}{2}\cdot \cos \frac{\frac{5\pi (x+T)}{2}+\frac{5\pi x}{2}}{2} = 0.$

Putsa till detta litet grand för att få 

    $\displaystyle\sin \frac{5\pi T}{4}\cdot \cos \frac{5\pi x + 2.5\pi T}{4} = 0.$

Detta ska nu gälla för varje val av heltalet $x$. Det är bara möjligt om faktorn $\sin \frac{5\pi T}{4}$ är lika med noll, vilket betyder att $5\pi T/4 = \pi \cdot n$ där $n$ kan vara vilket heltal som helst; för att få ett konkret värde på perioden, välj $n$ som det minsta positiva heltalet. 

Jag är jättetacksam för alla svar!! Jag är dock för trött för att få ordning på detta ikväll, men tusen tack så länge!! :) (jag väntar med att markera som löst tills jag vet om jag fattar)