Bevisa olikheten med induktionsprincipen

Jag ska visa att olikheten $2^{n} > n^{2} - 2$ gäller för varje heltal $n \geq 3$ .

Bassteget är inget problem och sen antar jag att $2^{p} > p^{2} - 2$ .

Och nu ska vi alltså visa att $2^{p + 1} > (p + 1)^{2} - 2$ stämmer vilket som är ekvivalent till att visa att $2^{p + 1} - (p + 1)^{2} + 2 > 0$ .

Genom att använda mig av antagandet och förenkla kom jag fram till att $2^{p + 1} - (p + 1)^{2} + 2 > p^{2} - 2 p - 3$ men hur visar jag att detta är större än 0. Räcker det med att anta att $p^{2}$ $- 2 p$ $\geq 3$ , eller måste man visa det på något sätt?

Hoppas ni förstår vad jag menar, har inte skrivit ut alla steg och förenklingen här.

Tack på förhand.

Det räcker inte att anta att $p^{2} - 2 p \geq 3$ . Men det är ganska enkelt att motivera olikheten med att $p^{2} - 2 p$ är växande då $p \geq 3$ samt att olikheten gäller för p = 3. Så detta visar att olikheten stämmer.

Men att $p^{2} - 2 p$ är växande då $p \geq 3$ är inget man måste bevisa på något sätt, eller?

Marcus0097 skrev :
Men att $p^{2} - 2 p$ är växande då $p \geq 3$ är inget man måste bevisa på något sätt, eller?

Det är enkelt att visa med derivatan.

Om man vill vara jättenoga så visst, det kan man göra, men om jag bara talar ur vad jag tycker personligen så tycker jag att det blir lite överdrivet. Det känns ganska uppenbart och är lätt att verifiera att det är sant, så mer än att påpeka att det är på det sättet man förstår att olikheten är sann känns inte nödvändigt.

För att svara lite mer allmänt om hur man skriver sådana här bevis så är det ju upp till författaren att avgöra hur den vill formulera sig, målet är att göra sig förstådd till den som läser det. Om du tror att den som rättar din lösning kommer slå dig på fingrarna för att du inte bevisade att den är växande, då tar du och bevisar att den är växande så slipper du oroa dig för det. Om du tror att den som rättar lösningen är okej med att du inte motiverar detta mer, så behöver du inte göra det eftersom det blir "onödigt kladd" i beviset.

Man kan ju också göra andra motiveringar, exempelvis så är $p^{2} - 2 p \geq 3 \Leftrightarrow (p - 1)^{2} \geq 4$ , där det senare är uppenbart att det är sant då p >= 3.

Edit: Som regel också, om du inte själv känner dig helt hundra på att det är helt och hållet sant och följer av det du påstår att det följer av, då ska du självfallet inte bara påstå att det är sant, då måste du bevisa det.

Marcus0097 skrev :
Jag ska visa att olikheten $2^{n} > n^{2} - 2$ gäller för varje heltal $n \geq 3$ .
Bassteget är inget problem och sen antar jag att $2^{p} > p^{2} - 2$ .
Och nu ska vi alltså visa att $2^{p + 1} > (p + 1)^{2} - 2$ stämmer vilket som är ekvivalent till att visa att $2^{p + 1} - (p + 1)^{2} + 2 > 0$ .
Genom att använda mig av antagandet och förenkla kom jag fram till att $2^{p + 1} - (p + 1)^{2} + 2 > p^{2} - 2 p - 3$ men hur visar jag att detta är större än 0. Räcker det med att anta att $p^{2}$ $- 2 p$ $\geq 3$ , eller måste man visa det på något sätt?
Hoppas ni förstår vad jag menar, har inte skrivit ut alla steg och förenklingen här.
Tack på förhand.

Hej!

Steg 1. Du har visat att olikheten är sann för $n=3$ .

Steg 2. Du antar att olikheten är sann för ett visst positivt heltal $p\geq 3$ .

Steg 3. Du vill visa att olikheten är sann för nästa heltal, $p+1.$

Som du skriver betyder detta att du vill visa att

$2^{p+1} - (p+1)^2 + 2 > 0.$

Eftersom $2^{p+1} = 2 \cdot 2^{p}$ så ger Steg 2 att

$\displaystyle 2^{p+1} - (p+1)^2 + 2 > 2 \cdot (p^2-2) - (p+1)^2 + 2 = p^2 -2p -3 = (p-1)^2 - 2\ .$

Eftersom $p \geq 3$ så är $(p-1)^2 - 2 \geq 4-2 > 0$ , vilket visar att om Steg 2 är sann så är Steg 3 också sann.

Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet så är olikheten sann för alla heltal $n \geq 3.$

Albiki

Svara

Visa senaste svar