bevisa olikheten

Utmärkt början! Nu är det dags att göra ett litet knep för att kunna faktorisera ordentligt: Vi skriver om $2a^2{b}^2$ till $a^2{b}^2+a^2{b}^2$. Prova nu att bryta ut faktorer! Vad händer? :)

Jag har inte kollat på spoiler ännu, men hur kan man faktorisera? -2a²b - 2ab² har väl ingen gemensam faktor med a²b² ? 

Och jag kan inte bryta ut a² eller b², inte a+b heller för att det finns en multiplikation i slutet...

Jodå, de tre uttrycken har faktorerna a och b gemensamt. :)

Kika på spoilern, det finns ett litet tips där som nog kan hjälpa dig framåt!

Är osäker på om jag har tolkat det rätt, är det så du menar? 

$$\begin{gathered} a(a -2ab - 2b^2 + 2a{b}^2) + b2 \ge 0 \\ b(b -2a^2 -2ab + 2a^{2}b) + a^2 \ge 0 \end{gathered}$$

Ungefär! Jag tänker att du kan bryta ut $a^2$ och $b^2$:

Flytta om lite:

$$\begin{gathered} a^2+b^2-2a^{2}b-2a{b}^2+a^2{b}^2+a^2{b}^2\ge 0 \\ \left(a^2-2a^{2}b+a^2{b}^2\right)+\left(b^2-2a{b}^2+a^2{b}^2\right)\ge 0 \end{gathered}$$

Bryt ut:

$a^2\left(1-2b+b^2\right)+b^2\left(1-2a+a^2\right)\ge 0$

Parenteserna kan faktoriseras med hjälp av kvadreringsreglerna: 

$a^2{\left(b-1\right)}^2+b{\left(a-1\right)}^2\ge 0$

Vilka slutsatser kan dras av detta uttryck? :)

Nej, det för dig inte framåt. 

a²-2a²b+a²b²+b²-2ab²+a²b² > 0 

a²(1-2b+b²) + b²(1-2a+a²) > 0

a²(1-b)² + b²(1-a)² > 0

Det skall egentligen vara $\ge$, inte > på alla rader.

Kan du resonera vidare härifrån?

Smutstvätt skrev:

Ungefär! Jag tänker att du kan bryta ut $a^2$ och $b^2$:

Flytta om lite:

$$\begin{gathered} a^2+b^2-2a^{2}b-2a{b}^2+a^2{b}^2+a^2{b}^2\ge 0 \\ \left(a^2-2a^{2}b+a^2{b}^2\right)+\left(b^2-2a{b}^2+a^2{b}^2\right)\ge 0 \end{gathered}$$

Bryt ut:

$a^2\left(1-2b+b^2\right)+b^2\left(1-2a+a^2\right)\ge 0$

Parenteserna kan faktoriseras med hjälp av kvadreringsreglerna: 

$a^2{\left(b-1\right)}^2+b{\left(a-1\right)}^2\ge 0$

Vilka slutsatser kan dras av detta uttryck? :)

Så här tänker jag

eftersom a och b är större eller lika med noll så är deras produkt kvadrat också större eller lika med noll. Samma gäller deras produkt och summa. Men jag vet inte riktigt om jag kan bevisa det. Eller är det meningen att man ska använda ett motsägelsebevis? (vissa ett fall där det inte stämmer osv)

Använd att kvadrater (av reella tal) aldrig är negativa.

Smaragdalena skrev:

Använd att kvadrater (av reella tal) aldrig är negativa.

Kan jag bara skriva att kvadraten av reella tal är aldrig negativa? 

Japp! Därefter kan du konstatera att produkter av två positiva tal alltid är positiva, och att summan av två positiva termer alltid är positiv. Glöm inte att undersöka om din summa kan bli noll! :)

Summan blir noll om a och b är noll? För om en av de eller båda är större än noll då blir summan också större än noll. 

Det stämmer. Om a = b = 1 (vilket är ok enligt kraven på a och b) blir summan noll. I princip räcker det med att säga att kvadraterna alltid är större än eller lika med noll, vilket ger en summa större än eller lika med noll. Bara glöm inte nollorna, med andra ord. :)

Om a = b = 1 (vilket är ok enligt kraven på a och b) blir summan noll

Kan a och b vara lika? De är ju två olika variabler...

glöm inte nollorna

Menar du att jag ska skriva : Summan blir noll om a och b är noll, för om en av de eller båda är större än noll d.... osv eller är det något annat jag behöver ta hänsyn till. 

Ja, a och b kan vara lika eftersom det inte finns något krav på att $a\neq b$. :)

Jag menar bara att påståendet "kvadrater av reella tal är alltid positiva" utelämnar noll. Skriv bara att "kvadrater av reella tal är alltid positiva eller noll", så löser det sig. :)

Tack!

Varsågod! :)