Bevisa olikhet med induktion

Hej!

Jag har följande uppgift: 

Jag har gjort steget med induktionsbas och testa för n=4, det stämde. Sedan gjorde jag antagandet att det stämmer för n= p, dvs  $p^2\le 2^p$.  Nu är jag i induktionssteget och ska bevisa att det gäller för n = p+1. 

${(p+1)}^2\le 2^{p+1}$

Jag undrar om jag kan använda uttrycket från steg 2, dvs $p^2\le 2^p$och multiplicera med 2 på båda sidor om olikhetstecknet för att komma vidare.  Då skulle det blir $2p^2\le 2 · 2^p \to 2p^2 \le 2^{p+1}$.

Då kan jag i sin tur konstatera att: 

2p² > (p+1)²  för de n som ska uppfylla villkoret för olikheten. 

Och då gäller alltså att ${(p+1)}^2\le 2^{p+1}$för n > 3.

Eller finns det något annat sätt att utföra det sista steget på (dvs induktionssteget för att visa n= p+1)? 

Tack på förhand!