Bevisa olikhet med hjälp av induktionsbevis

Uppgift 1254,

Jag har fastnat i delen när jag ska bevisa att detta gäller för n+1, så här har jag tänkt:

$\sum_{n = 1}^{n} \frac{1}{n^{2}} \leq 2 - \frac{1}{n}$

Det stämmer för n=1, eftersom 1/1 = 2-1=1

Induktionsantagande:

$\sum_{n = 1}^{p} \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} . . . \frac{1}{p^{2}} \leq 2 - \frac{1}{p}$

Induktionssteg; Ersätter n med p+1:

$\sum_{n = 1}^{p + 1} \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} . . . \frac{1}{p^{2}} + \frac{1}{{(p + 1)}^{2}} \leq 2 - \frac{1}{p + 1}$

För att göra det enklare, så skriver jag HL-VL>=0:

$2 - \frac{1}{p + 1} - (\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} . . . + \frac{1}{p^{2}} + \frac{1}{{(p + 1)}^{2}}) \geq 0$

Här fastnar jag och vet inte hur jag ska ta mig vidare. En ledtråd vore mycket uppskattat:)

Lite slarvigt uttryckt kanske: när du går från n till n+1 så lägger du till $\frac{1} {(n+1)^2}$ i VL och $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ i HL.

Förstår inte vad du menar med slarvigt uttryckt. Borde jag ha lagt till $\frac{1}{{(p + 1)}^{2}}$ i induktionssteget i HL också?

Ska det vara $2 - \frac{1}{p} + \frac{1}{{(p + 1)}^{2}}$ i HL i induktionssteget?

Hej,

Ditt induktionsbevis ska bestå av fyra steg.

Steg 1. Visa att $\frac{1}{1^2} \leq 2-\frac{1}{1}$ .

Steg 2. Anta att det finns ett heltal $n\geq 1$ sådant att $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\leq 2-\frac{1}{n}.$

Steg 3. Visa att olikheten även är sann för nästa heltal $n+1$ .

Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet är olikheten sann för alla positiva heltal.

Steg 3. Här behöver man vara kreativ med att använda informationen från Steg 2 för att visa den önskade olikheten.

Du ska utgå från en sida av olikheten och visa den andra sidan av olikheten, på ett sådant sätt att Steg 2 kan komma in på ett naturligt sätt. Här är det lämpligt att utgå från olikhetens vänstra sida,

$\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}.$

Du ska visa att denna summa är mindre än $2-\frac{1}{n+1}$ . Ditt misstag var att du utgick från att detta resultat var sant, och då finns det inte mycket som du kan visa; du sitter fast.

Med hjälp av Steg 2 kan du skriva följande olikhet.

$\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2} \leq 2-\frac{1}{n}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}.$

Om det går att visa att $2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2} \leq 2-\frac{1}{n+1}$ så är uppdraget slutfört. Denna olikhet är samma sak som

$\frac{1}{(n+1)^2} \leq \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ ,

så det går lika bra att undersöka om denna olikhet är sann.

Man kan skriva $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{(n+1)-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$ och frågan är nu om denna kvot är större än $\frac{1}{(n+1)^2}$ ?

RAgnar1337 skrev:
Förstår inte vad du menar med slarvigt uttryckt. Borde jag ha lagt till $\frac{1}{{(p + 1)}^{2}}$ i induktionssteget i HL också?

Ska det vara $2 - \frac{1}{p} + \frac{1}{{(p + 1)}^{2}}$ i HL i induktionssteget?

Det jag menade var att jag kanske uttryckte mig slarvigt med detta tips.

Albiki skrev:
Steg 3. Här behöver man vara kreativ med att använda informationen från Steg 2 för att visa den önskade olikheten.

Du ska utgå från en sida av olikheten och visa den andra sidan av olikheten, på ett sådant sätt att Steg 2 kan komma in på ett naturligt sätt. Här är det lämpligt att utgå från olikhetens vänstra sida,

$\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}.$

Du ska visa att denna summa är mindre än $2-\frac{1}{n+1}$ . Ditt misstag var att du utgick från att detta resultat var sant, och då finns det inte mycket som du kan visa; du sitter fast.

Det jag behöver hjälp med är att hitta en substitution där jag använder informationen i Steg 2. Eller som du skriver: "Här behöver man vara kreativ med att använda informationen från Steg 2 för att visa den önskade olikheten".

En lämplig subsitiution är att ersätta $\frac{1}{1^{1}} + \frac{1}{2^{2}} . . . + \frac{1}{p^{2}}$ med $2 - \frac{1}{p}$ ,

eftersom vi vet att $\frac{1}{1^{1}} + \frac{1}{2^{2}} . . . + \frac{1}{p^{2}}$ är mindre eller lika med $2 - \frac{1}{p}$ ,

om jag har förstått dig rätt.

Löste den nu med din substitution, Albiki :)

Svara

Visa senaste svar