Bevisa olikhet med hjälp av induktionsbevis
Uppgift 1254,
Jag har fastnat i delen när jag ska bevisa att detta gäller för n+1, så här har jag tänkt:
Det stämmer för n=1, eftersom 1/1 = 2-1=1
Induktionsantagande:
Induktionssteg; Ersätter n med p+1:
För att göra det enklare, så skriver jag HL-VL>=0:
Här fastnar jag och vet inte hur jag ska ta mig vidare. En ledtråd vore mycket uppskattat:)
Lite slarvigt uttryckt kanske: när du går från n till n+1 så lägger du till i VL och i HL.
Förstår inte vad du menar med slarvigt uttryckt. Borde jag ha lagt till i induktionssteget i HL också?
Ska det vara i HL i induktionssteget?
Hej,
Ditt induktionsbevis ska bestå av fyra steg.
Steg 1. Visa att .
Steg 2. Anta att det finns ett heltal sådant att
Steg 3. Visa att olikheten även är sann för nästa heltal .
Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet är olikheten sann för alla positiva heltal.
Steg 3. Här behöver man vara kreativ med att använda informationen från Steg 2 för att visa den önskade olikheten.
Du ska utgå från en sida av olikheten och visa den andra sidan av olikheten, på ett sådant sätt att Steg 2 kan komma in på ett naturligt sätt. Här är det lämpligt att utgå från olikhetens vänstra sida,
Du ska visa att denna summa är mindre än . Ditt misstag var att du utgick från att detta resultat var sant, och då finns det inte mycket som du kan visa; du sitter fast.
Med hjälp av Steg 2 kan du skriva följande olikhet.
Om det går att visa att så är uppdraget slutfört. Denna olikhet är samma sak som
,
så det går lika bra att undersöka om denna olikhet är sann.
Man kan skriva och frågan är nu om denna kvot är större än ?
RAgnar1337 skrev:Förstår inte vad du menar med slarvigt uttryckt. Borde jag ha lagt till i induktionssteget i HL också?
Ska det vara i HL i induktionssteget?
Det jag menade var att jag kanske uttryckte mig slarvigt med detta tips.
Albiki skrev:Steg 3. Här behöver man vara kreativ med att använda informationen från Steg 2 för att visa den önskade olikheten.
Du ska utgå från en sida av olikheten och visa den andra sidan av olikheten, på ett sådant sätt att Steg 2 kan komma in på ett naturligt sätt. Här är det lämpligt att utgå från olikhetens vänstra sida,
Du ska visa att denna summa är mindre än . Ditt misstag var att du utgick från att detta resultat var sant, och då finns det inte mycket som du kan visa; du sitter fast.
Det jag behöver hjälp med är att hitta en substitution där jag använder informationen i Steg 2. Eller som du skriver: "Här behöver man vara kreativ med att använda informationen från Steg 2 för att visa den önskade olikheten".
En lämplig subsitiution är att ersätta med ,
eftersom vi vet att är mindre eller lika med ,
om jag har förstått dig rätt.
Löste den nu med din substitution, Albiki :)