8 svar
415 visningar
RAgnar1337 behöver inte mer hjälp
RAgnar1337 21 – Fd. Medlem
Postad: 4 dec 2020 16:56

Bevisa olikhet med hjälp av induktionsbevis

Uppgift 1254, 

Jag har fastnat i delen när jag ska bevisa att detta gäller för n+1, så här har jag tänkt: 

n=1n1n22-1n

Det stämmer för n=1, eftersom 1/1 = 2-1=1

Induktionsantagande:

n=1p1n2=112+122...1p22-1p

Induktionssteg; Ersätter n med p+1:

n=1p+11n2=112+122...1p2+1p+122-1p+1

För att göra det enklare, så skriver jag HL-VL>=0:

2-1p+1-(112+122...+1p2+1(p+1)2)0

Här fastnar jag och vet inte hur jag ska ta mig vidare. En ledtråd vore mycket uppskattat:)

Laguna Online 30256
Postad: 4 dec 2020 18:56 Redigerad: 4 dec 2020 18:56

Lite slarvigt uttryckt kanske: när du går från n till n+1 så lägger du till 1(n+1)2\frac{1} {(n+1)^2} i VL och 1n-1n+1\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} i HL. 

RAgnar1337 21 – Fd. Medlem
Postad: 4 dec 2020 23:23

Förstår inte vad du menar med slarvigt uttryckt. Borde jag ha lagt till  1(p+1)2i induktionssteget i HL också?

Ska det vara 2-1p+1(p+1)2i HL i induktionssteget?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 5 dec 2020 00:25

Hej,

Ditt induktionsbevis ska bestå av fyra steg.

Steg 1. Visa att 1122-11\frac{1}{1^2} \leq 2-\frac{1}{1}.

Steg 2. Anta att det finns ett heltal n1n\geq 1 sådant att 112+122++1n22-1n.\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\leq 2-\frac{1}{n}.

Steg 3. Visa att olikheten även är sann för nästa heltal n+1n+1.

Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet är olikheten sann för alla positiva heltal.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 5 dec 2020 00:30

Steg 3. Här behöver man vara kreativ med att använda informationen från Steg 2 för att visa den önskade olikheten.

Du ska utgå från en sida av olikheten och visa den andra sidan av olikheten, på ett sådant sätt att Steg 2 kan komma in på ett naturligt sätt. Här är det lämpligt att utgå från olikhetens vänstra sida,

    112+122++1n2+1n+12.\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}.

Du ska visa att denna summa är mindre än 2-1n+12-\frac{1}{n+1}. Ditt misstag var att du utgick från att detta resultat var sant, och då finns det inte mycket som du kan visa; du sitter fast.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 5 dec 2020 00:35 Redigerad: 5 dec 2020 00:36

Med hjälp av Steg 2 kan du skriva följande olikhet.

    112+122++1n2+1n+122-1n+1n+12.\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2} \leq 2-\frac{1}{n}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}.

Om det går att visa att 2-1n+1(n+1)22-1n+12-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2} \leq 2-\frac{1}{n+1} så är uppdraget slutfört. Denna olikhet är samma sak som

    1(n+1)21n-1n+1\frac{1}{(n+1)^2} \leq \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},

så det går lika bra att undersöka om denna olikhet är sann.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 5 dec 2020 00:38

Man kan skriva 1n-1n+1=(n+1)-nn(n+1)=1n(n+1)\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{(n+1)-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} och frågan är nu om denna kvot är större än 1(n+1)2\frac{1}{(n+1)^2}?

Laguna Online 30256
Postad: 5 dec 2020 10:13
RAgnar1337 skrev:

Förstår inte vad du menar med slarvigt uttryckt. Borde jag ha lagt till  1(p+1)2i induktionssteget i HL också?

Ska det vara 2-1p+1(p+1)2i HL i induktionssteget?

Det jag menade var att jag kanske uttryckte mig slarvigt med detta tips.

RAgnar1337 21 – Fd. Medlem
Postad: 5 dec 2020 10:41 Redigerad: 5 dec 2020 10:47
Albiki skrev:

Steg 3. Här behöver man vara kreativ med att använda informationen från Steg 2 för att visa den önskade olikheten.

Du ska utgå från en sida av olikheten och visa den andra sidan av olikheten, på ett sådant sätt att Steg 2 kan komma in på ett naturligt sätt. Här är det lämpligt att utgå från olikhetens vänstra sida,

    112+122++1n2+1n+12.\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}.

Du ska visa att denna summa är mindre än 2-1n+12-\frac{1}{n+1}. Ditt misstag var att du utgick från att detta resultat var sant, och då finns det inte mycket som du kan visa; du sitter fast.

Det jag behöver hjälp med är att hitta en substitution där jag använder informationen i Steg 2. Eller som du skriver: "Här behöver man vara kreativ med att använda informationen från Steg 2 för att visa den önskade olikheten".

En lämplig subsitiution är att ersätta 111+122...+1p2med 2-1p,

eftersom vi vet att 111+122...+1p2är mindre eller lika med 2-1p,

om jag har förstått dig rätt.

Löste den nu med din substitution, Albiki :) 

Svara
Close