Bevisa olikhet genom induktionsbevis

johannes121 skrev:

Hej,

Jag har till uppgift att bevisa följande:

$2^n>n^2-2$ för n > 2.

Först testar jag för "basfallet" n = 3 och får i VL: 2^3 = 8. I HL erhålls istället 3^2 - 2 = 7. Vilket stämmer.

Nu antar jag att påståendet stämmer för n = k där k $\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}$ och testar för n = k + 1.

$2^k > k^2-2$

Multiplikation med två ger på båda sidor:

$2^{k+1}>2k^2-4$

Jag möblerar om i HL till nedanstående:

$2^{k+1}>k^2+k^2-2-2$

Av mitt påstående att $2^k>k^2-2$ så måste rimligtvis $2^{k+1}>k^2-2$ och eftersom $k^2-2\ge 2k+1$ för k > 2 så kan vi substituera detta i olikheten:

$2^{k+1}>k^2+2k+1 - 2$

Av kvadreringsreglerna erhålls slutligen:

$2^{k+1}>{(k+1)}^2-2$

$\square$

---

Ser det bra ut, eller hittar ni någon brist i min argumentation för beviset?

Tack!

I det fetade används påståendet som ska bevisas som om det redan är sant. Då blir det ett cirkelresonemang. Alla steg i beviset, utom induktionsantagandet, måste vara logiskt korrekt. I övrigt var det en gott försök.

Byt ut ordet "påstående" i den fetade texten mot ordet "induktionsantagande" och ditt bevis går igenom.

F ö onödigt att använda induktion för att bevisa en sådan här sak. Sätt f(x) = 2^X - x² + 2, konstatera att f(3) > 0, att f´(x) = ln2*2^x - -2x > 0,5*2^x - 2x >=2^x-1 -2x >= 0 för x>3 (ln2>0,6>0,5) och du har olikheten bevisad för alla reella tal >=3. Alltså speciellt för alla naturliga tal >=3. (Men denna gången stod det ju att beviset SKULLE göras med induktion.)

Du gör rätt fram t o m n=k, men det blir inte rätt när du skall testa för n=k+1.  Du har k² -2 i HL, alltså får du (k+1)²-2, vilket ger k²+2k-1 = HL_k+1. För att få VL_K+1 utnyttjar man antagandet att 2^k > (k² -2). Om man väljer (k² -2), och ändå lyckas bevisa att VL>HL, ja då är saken klar.

Alltså, VL_K+1 = (k² -2) + 2^K+1 = k² -2 + 2^k+1         

Nu jämför du slutligen VL och HL, för att se om påståendet gäller för för alla K: k² -2 + 2^k+1 > k² +2k-1, vilket ger: 2^k+1-1 > 2^k.

Eftersom k>2 (2 ^k+1 > 2 ^k+1), så är nu beviset klart!                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Tomten skrev:

Byt ut ordet "påstående" i den fetade texten mot ordet "induktionsantagande" och ditt bevis går igenom.

F ö onödigt att använda induktion för att bevisa en sådan här sak. Sätt f(x) = 2^X - x² + 2, konstatera att f(3) > 0, att f´(x) = ln2*2^x - -2x > 0,5*2^x - 2x >=2^x-1 -2x >= 0 för x>3 (ln2>0,6>0,5) och du har olikheten bevisad för alla reella tal >=3. Alltså speciellt för alla naturliga tal >=3. (Men denna gången stod det ju att beviset SKULLE göras med induktion.)

Att lösa uppgiften är mycket mer elementärt, och att konstruera reella tal och derivator för att lösa uppgiften verkar onödigt.

Aerius skrev:

johannes121 skrev:

Hej,

Jag har till uppgift att bevisa följande:

$2^n>n^2-2$ för n > 2.

Först testar jag för "basfallet" n = 3 och får i VL: 2^3 = 8. I HL erhålls istället 3^2 - 2 = 7. Vilket stämmer.

Nu antar jag att påståendet stämmer för n = k där k $\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}$ och testar för n = k + 1.

$2^k > k^2-2$

Multiplikation med två ger på båda sidor:

$2^{k+1}>2k^2-4$

Jag möblerar om i HL till nedanstående:

$2^{k+1}>k^2+k^2-2-2$

Av mitt påstående att $2^k>k^2-2$ så måste rimligtvis $2^{k+1}>k^2-2$ och eftersom $k^2-2\ge 2k+1$ för k > 2 så kan vi substituera detta i olikheten:

$2^{k+1}>k^2+2k+1 - 2$

Av kvadreringsreglerna erhålls slutligen:

$2^{k+1}>{(k+1)}^2-2$

$\square$

---

Ser det bra ut, eller hittar ni någon brist i min argumentation för beviset?

Tack!

I det fetade används påståendet som ska bevisas som om det redan är sant. Då blir det ett cirkelresonemang. Alla steg i beviset, utom induktionsantagandet, måste vara logiskt korrekt. I övrigt var det en gott försök.

Menar du att jag ska uttrycka mig annorlunda i den fetmarkerade delen eller går det fel matematiskt?

Hej,

Induktionsbevis består av fyra steg som illustreras nedan.

Steg 1. Visa att olikheten gäller för $n=3$. 

Steg 2. Anta att olikheten gäller för ett visst heltal $n$.

Steg 3. Visa att olikheten gäller för nästa heltal $n+1$.

Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet gäller olikheten för varje heltal större än 2.

Det kreativa arbetet utförs vid Steg 3.

Du antar att $2^{n}>n^2-2$ och vill visa att $2^{n+1}>(n+1)^2-2.$ Multipliceras olikheten $2^{n}>n^2-2$ med talet $2$ får man $2^{n+1}>2n^2-4$.

Om man kan visa att $2n^2-4>(n+1)^2-2$ när $n>2$ så har målet nåtts.

Ställ upp svaret enligt hur Albiki skrev. Väldigt nyttigt att lära sig ett standardsätt hur man skriver lösningar.

Boken Matematik 5000 delar upp Albikis steg 2 och 3 i tre steg: Induktionsantagande, Påstående och Bevis (för påståendet). Inte bättre, inte sämre, bara lite annorlunda. Idén är ändå densamma.