Bevisa något komplexeri (del 1)

Undersök om det finns komplexa tal z så att:

$\frac{z}{\bar{z}} = 2 + i$

Det blir nog:

$\frac{a + b i}{a - b i} = 2 + i \frac{{(a + b i)}^{2}}{a^{2} + b^{2}} = 2 + i$

Så :

$a^{2} + b^{2} = 2 2 a b i = 1$

Från det första tänker vi att a eller b är borde antigen vara 1 eller -1?

Från den andra kan vi skriva $a = \frac{1}{2 b}$ , eller tärtom. Sätter man detta i första ekvation får man:

$a^{2} + {(\frac{1}{2 a})}^{2} = 2$ , $a^{4} - 2 a^{2} + \frac{1}{4} = 0$ , och efter man har ersätt $a^{2}$ med t pq formeln ger nu: $1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Vad ska jag göra nu för att bevisa/motbevisa?

Kan jag inte lösa det med en ritning?

Man kan vara lite klurig här. Vi tar absolutbeloppen på båda sidor och använder att $|z| = |z|$ . Då får man att VL är

$|\frac{z}{z}| = \frac{|z|}{|z|} = \frac{|z|}{|z|} = 1$

medan HL är

$|2 + i| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

Så om det finns något sådant z så måste det gälla att

$1 = \sqrt{5}$

vilket det uppenbart inte gör, så det kan alltså inte finnas något sånt z.

Uppenbarligen...

Polär form är ett annat alternativ:

$z = re^{i \theta} \Rightarrow \bar{z} = re^{-i \theta}$

$\frac{z}{\bar{z}} = e^{2i\theta}$

och, och r/r = 1... men jag fattar inte varför eller hur man använder polärform i detta sammanhang?

dajamanté skrev :
och, och r/r = 1... men jag fattar inte varför eller hur man använder polärform i detta sammanhang?

Vi kan använda det för att sätta upp följande samband:

$VL = 1\cdot e^{2i\theta} = \sqrt{5}\cdot e^{i\phi} = HL$

Kan likheten ovan stämma? Polär form gör det enkelt att konstatera hur det ligger till.

Det kan inte stämma för absolut belopp, men visst kunde det stämma för argument?

dajamanté skrev :
Det kan inte stämma för absolut belopp, men visst kunde det stämma för argument?

Precis! Hade absolutbeloppet av HL varit 1 hade det gått att få överensstämmelse!

Tack för hjälpen :)

Svara

Visa senaste svar