Bevisa med motsägelsebevis

Hej!

Tänkte kolla om någon här kanske kan häjlpa mig med denna uppgift då jag är osäker på ifall jag har löst den rätt.

Bevisa med hjälp av ett motsäsägelsebevis att $2 \geq \frac{1}{n^{2} + 1} + 1$ för alla reella tal n.

Jag har löst uppgiften på följande vis.

Jag antar att motsatsen stämmer,

$2 < \frac{1}{n^{2} + 1} + 1 \Leftrightarrow 1 < \frac{1}{n^{2} + 1} \Leftrightarrow n^{2} + 1 < 1 \Leftrightarrow n^{2} < 0$

Hur vet jag om jag har löst uppgiften för alla n? Har jag gjort det eller missar jag ett steg?

Tack för hjälpen på förhand! :)

Du har ju behandlat $n$ som vilket tal som helst, och inte gjort några antaganden på $n$ (utöver att $n$ är reellt, vilket du fick göra enligt uppgiften), alltså håller ju ditt bevis för alla reella $n$ .

Då kan jag väl dra slutsatsen att $n^{2} < 0$ är falskt eftersom $n^{2}$ aldrig kan bli mindre än noll vilket leder till att $2 \geq \frac{1}{n^{2} + 1} + 1$ kommer stämma, eller?

Ja, det är rätt.

Kom bara ihåg att det är viktigt att det är angivet att $n$ är ett reellt tal, för det finns ju icke-reella tal vars kvadrater är negativa..

$i^{2} = - 1$

Ja exakt. Tack så mycket för hjälpen! :)

Svara

Visa senaste svar