25 svar

448 visningar

lamayo behöver inte mer hjälp

Bevisa med indirekt bevis

Bevisa med indirekt bevis att om a och b är positiva (reella) heltal och $b^{10}$ > $a^{10}$ så gäller att b>a.

Ska jag sätta in värden på b och a, exempel a=1 och b=2. Sedan sätta in de och om $b^{10}$ inte är större än $a^{2}$ så gäller att b inte är större än a?

Tacksam för hjälp

När det gäller indirekta bevis. om " $P \to Q$ " är det du ska bevisa, anta $\neg Q$ och visa att det leder till en motsägelse

( $\to = l e d e r t i l l, \neg = m o t s a t s$ )

Om $P$ i ditt fall är $b^{10} > a^{10}$ sä är $Q$ ..

Hoppas det hjälpte!

Ryszard skrev:
När det gäller indirekta bevis. om " $P \to Q$ " är det du ska bevisa, anta $\neg Q$ och visa att det leder till en motsägelse
( $\to = l e d e r t i l l, \neg = m o t s a t s$ )
Om $P$ i ditt fall är $b^{10} > a^{10}$ sä är $Q$ ..
Hoppas det hjälpte!

Så långt har jag förstått, men fastnar sedan...

Gjorde följande: Om b $\leq$ a gäller att $b^{10}$ $\leq$ $a^{10}$ men vet inte hur jag tar mig vidare.

Har du något tips/ledtråd?

Du har gjort rätt, Vilken mer information var du given som skulle säga emot det?.(Vad är ditt $P$ ?)

Ryszard skrev:
Du har gjort rätt, Vilken mer information var du given som skulle säga emot det?.(Vad är ditt $P$ ?)

Om b $\leq$ a så gäller att a och b är inte är positiva heltal och $b^{10} \leq a^{10}$ ?

Du har två premisser . $P r e m i s s 1 : (P) b^{10} > a^{10}, v i l k e t ä r a n t a g e t s a n t (a n n a r s h a r v i i n g e t a t t g å p å) P r e m i s s 2 : (\neg Q) d i n m o t s ä g e l s e b \leq a, v i l k e t o c k s å ä r a n t a g e t s a n t, f a s t m e d s y f t e a t t v i s a a t t d e t u p p s t å r e n m o t s ä g e l s e, s å a t t m o t s a t s e n (Q) m å s t e v a r a s a n t$

Du har en tredje bit information vilket spikar ditt argument. ledtråd: $(- 5) ² > 4 ²$

Ser du hur dina premisser skapar en motsägelse?

Ryszard skrev:
Du har två premisser . $P r e m i s s 1 : (P) b^{10} > a^{10}, v i l k e t ä r a n t a g e t s a n t (a n n a r s h a r v i i n g e t a t t g å p å) P r e m i s s 2 : (\neg Q) d i n m o t s ä g e l s e b \leq a, v i l k e t o c k s å ä r a n t a g e t s a n t, f a s t m e d s y f t e a t t v i s a a t t d e t u p p s t å r e n m o t s ä g e l s e, s å a t t m o t s a t s e n (Q) m å s t e v a r a s a n t$
Du har en tredje bit information vilket spikar ditt argument. ledtråd: $(- 5) ² > 4 ²$
Ser du hur dina premisser skapar en motsägelse?

Förstår inte riktigt hur du menar?

Låt mig visa ett exempel på en fråga lik din:

$v i s a a t t o m a o c h b ä r p o s i t i v a h e l t a l o c h a^{2} > b^{2} d å f ö l j e r a t t a > b$

$b e v i s e t h a r f o r m e n a v e n m o t s ä g e l s e, s å j a g a n t a r a t t a \leq b N u s k a j a g v i s a a t t d e t l e d e r t i l l e n m o t s ä g e l s e : B e v i s : L å t a o c h b v a r a p o s i t i v a h e l t a l, o c h l å t a^{2} > b^{2}, a n t a a \leq b . e f e r s o m a o c h b ä r p o s i t i v a s å k a n v i t a d e n p o s i t i a r o t e n u r s å v i f å r a > b m e n . . .$

Kan du fylla i resten? Om inte , Vad är det som känns oklart? :)

Oke, känns som jag fastnar.. Har svårt att komma på. Hur kan det bli a>b om man tar roten ur a och b? Sedan förvirrar det mig lite det där med indirekt bevis och motsägelsebevis. Det är samma va? i indirekt är det ju $\neg Q \to \neg P$ ?

Svarar i två delar 1: Det finns två sorters bevis som involverar $\neg Q$

Motsägelse bevis: $B e v i s a P \to Q$ , $a n t a a t t Q ä r f a l s k t o c h v i s a a t t d u f å r e n m o t s ä g e l s e : A n t a P, a n t a \neg Q o c h h i t t a T o c h \neg T, t . e x s å k a n T v a r a a t t x ä r p o s i t i v e n l i g t P, m e n T ä r n e g a t i v e n l i g t \neg Q S å Q m å s t e v a r a r ä t t$

Kontrapositivt bevis: $B e v i s a P \to Q,$ $\neg Q \to \neg P \Rightarrow \neg \neg Q \lor \neg P \Rightarrow \neg P \lor Q \Rightarrow P \to Q, V i l k e t v i s a r m e d \log i k a t t \neg Q \to \neg P ä r s a m m a s a k s o m P \to Q E x . s ä t t i n P = d e t r e g n a r, Q = j a g ä r b l ö t I d e t t a f a l l a n t a \neg Q o c h b e v i s a \neg P$

2: I min förklaring har jag utgått från motsägelsebeviset från ovan.

$O m d u t a r p å s t å e n d e a > b, m u l t i p l i c e r a m e d a o c h b p å v a r \sin : a^{2} > a b, a b > b^{2}, a o c h b ä r p o s i t i v a e n l i g t " a o c h b ä r p o s i t i v a r e e l a t a l "$

Ryszard skrev:
Svarar i två delar 1: Det finns två sorters bevis som involverar $\neg Q$
Motsägelse bevis: $B e v i s a P \to Q$ , $a n t a a t t Q ä r f a l s k t o c h v i s a a t t d u f å r e n m o t s ä g e l s e : A n t a P, a n t a \neg Q o c h h i t t a T o c h \neg T, t . e x s å k a n T v a r a a t t x ä r p o s i t i v e n l i g t P, m e n T ä r n e g a t i v e n l i g t \neg Q S å Q m å s t e v a r a r ä t t$

Kontrapositivt bevis: $B e v i s a P \to Q,$ $\neg Q \to \neg P \Rightarrow \neg \neg Q \lor \neg P \Rightarrow \neg P \lor Q \Rightarrow P \to Q, V i l k e t v i s a r m e d \log i k a t t \neg Q \to \neg P ä r s a m m a s a k s o m P \to Q E x . s ä t t i n P = d e t r e g n a r, Q = j a g ä r b l ö t I d e t t a f a l l a n t a \neg Q o c h b e v i s a \neg P$

Aha, trodde inte det var någon skillnad men nu är jag med på det!

Ryszard skrev:
2: I min förklaring har jag utgått från motsägelsebeviset från ovan.
$O m d u t a r p å s t å e n d e a > b, m u l t i p l i c e r a m e d a o c h b p å v a r \sin : a^{2} > a b, a b > b^{2}, a o c h b ä r p o s i t i v a e n l i g t " a o c h b ä r p o s i t i v a r e e l a t a l "$

vad hjälper det i beviset att multiplicera med a och b? känns som jag börjar förstå lite men har svårt att riktigt få ned det än.

Vill visa att man kan återfå uttrycket igen. $d u v e t a t t a^{2} > b^{2}, d u v e t a o c h b ä r p o s i t i v a a^{2} k a n s k r i v a s a * a d ä r b å d a a : n a ä r a n t i g e n p o s i t i v a, n e g a t i v a e l l e r n o l l, o m a^{2} > b^{2} s å f ö l j e r d e t a t t a b s o l u t v ä r d e t a v a m å s t e v a r a s t ö r r e ä n b t . e x a = - 4, b = 3, (- 4) ² > 3 ² o c h |a| = |- 4| = 4 > 3 = |3| = |b| E f t e r s o m a t t d u h a r a t t a o c h b ä r p o s i t i v a, |a| = a, |b| = b e f t e r s o m |a| > |b| s å f å r v i a > b$

Gör såhär, om du fortfarande känner dig osäker: Gör en skiss på hela beviset och skicka den, tänk inte så mycket på om du använder rätt ord, osv, bevis skrivande tar tid att lära sig, det är viktigare att göra fel än inget!

Ryszard skrev:
Vill visa att man kan återfå uttrycket igen. $d u v e t a t t a^{2} > b^{2}, d u v e t a o c h b ä r p o s i t i v a a^{2} k a n s k r i v a s a * a d ä r b å d a a : n a ä r a n t i g e n p o s i t i v a, n e g a t i v a e l l e r n o l l, o m a^{2} > b^{2} s å f ö l j e r d e t a t t a b s o l u t v ä r d e t a v a m å s t e v a r a s t ö r r e ä n b t . e x a = - 4, b = 3, (- 4) ² > 3 ² o c h |a| = |- 4| = 4 > 3 = |3| = |b| E f t e r s o m a t t d u h a r a t t a o c h b ä r p o s i t i v a, |a| = a, |b| = b e f t e r s o m |a| > |b| s å f å r v i a > b$
Gör såhär, om du fortfarande känner dig osäker: Gör en skiss på hela beviset och skicka den, tänk inte så mycket på om du använder rätt ord, osv, bevis skrivande tar tid att lära sig, det är viktigare att göra fel än inget!

Förstår att detta är fel men det är lite hur jag testat resonera kring uppgiften. Blir dock inget riktigt motsägelsebevis eller indirekt bevis enligt mig

$b y t i f ö r s t a m e n i n g e n : " s ä g ä l l e r a t t b \leq a " D e t ä r k o r r e k t i n f o r m a t i o n (\neg Q) M e n v i s k a a n t a d e n, f ö r a t t v i s a e n m o t s ä g e l s e . I d i t t a r g u m e n t h a r d u r ä t t i d é, m e n, b o c h a ä r n å g o t p o s i t i v t r e e l t t a l, d e t i n n e b ä r a t t v i i n t e k a n s ä g a b = 2 k f ö r d å ä r b j ä m n t . (i n g a k r a v p å b) I s t ä l l e t a n v ä n d a, b o c h d i n f ö r s t a m e n i n g : o m b \leq a o c h a o c h b ä r p o s i t i v a d å h a r d u t v å f a l l : 1 : a = b a l l t s å ä r a^{2} = b^{2} . . . o s v o s v 2 : (d e t h ä r ä r s a m m a i d é s o m d e t i t e x t e n " 2 n > n ") . b < a, m u l t i p l i c e r a r m a n m e d e t t p o s i t i v t h e l t a l f ö r ä n d r a s i n t e t e c k n e t s å a t t m u l t i p l c e r a m e d b 9 g å n g e r (b^{9}) g e r b^{10} < a (b^{9}), o m d u g ö r l i k a m e d a s å . . . S i s t : a n d v ä n d d i n s i s t a a n t a g n a i n f o r m a t i o n b^{10} > a^{10}$

Låt $x$ vara ett positivt reellt tal sådant att $x^{10}>1$ .

Anta att $x\leq1$ .

Då följer det att $x^{10}\leq 1^{10}$ och eftersom $1^{10}=1$ så gäller det att $x^{10}\leq1$ , vilket är en motsägelse. Det var alltså fel att anta att $x \leq 1$ .

Albiki skrev:
Låt $x$ vara ett positivt reellt tal sådant att $x^{10}>1$ .
Anta att $x\leq1$ .
Då följer det att $x^{10}\leq 1^{10}$ och eftersom $1^{10}=1$ så gäller det att $x^{10}\leq1$ , vilket är en motsägelse. Det var alltså fel att anta att $x \leq 1$ .

Okej! hur gör jag om det är två okända tal?

Ryszard skrev:
$b y t i f ö r s t a m e n i n g e n : " s ä g ä l l e r a t t b \leq a " D e t ä r k o r r e k t i n f o r m a t i o n (\neg Q) M e n v i s k a a n t a d e n, f ö r a t t v i s a e n m o t s ä g e l s e . I d i t t a r g u m e n t h a r d u r ä t t i d é, m e n, b o c h a ä r n å g o t p o s i t i v t r e e l t t a l, d e t i n n e b ä r a t t v i i n t e k a n s ä g a b = 2 k f ö r d å ä r b j ä m n t . (i n g a k r a v p å b) I s t ä l l e t a n v ä n d a, b o c h d i n f ö r s t a m e n i n g : o m b \leq a o c h a o c h b ä r p o s i t i v a d å h a r d u t v å f a l l : 1 : a = b a l l t s å ä r a^{2} = b^{2} . . . o s v o s v 2 : (d e t h ä r ä r s a m m a i d é s o m d e t i t e x t e n " 2 n > n ") . b < a, m u l t i p l i c e r a r m a n m e d e t t p o s i t i v t h e l t a l f ö r ä n d r a s i n t e t e c k n e t s å a t t m u l t i p l c e r a m e d b 9 g å n g e r (b^{9}) g e r b^{10} < a (b^{9}), o m d u g ö r l i k a m e d a s å . . . S i s t : a n d v ä n d d i n s i s t a a n t a g n a i n f o r m a t i o n b^{10} > a^{10}$

Kom att tänka på en sak nu... Borde man inte bara kunna dividera b^10 med b^9, a^10 med a^9 då blir det ju b>a?

Nej, det måste göras lika på båda sidorna för att det ska gälla, $b > \frac{a^{10}}{b^{9}} o c h \frac{b^{10}}{a^{9}} > a, g ö r d e t m o t s a t t a h å l l e t; d u h a r b \leq a s å o m b < a s å m å s t e b^{10} < (b^{9}) a < (b^{8}) a^{2} . . . < (a^{8}) b^{2} < (a^{9}) b < a^{10}$ Vad kan du säga då?

Ryszard skrev:
Nej, det måste göras lika på båda sidorna för att det ska gälla, $b > \frac{a^{10}}{b^{9}} o c h \frac{b^{10}}{a^{9}} > a, g ö r d e t m o t s a t t a h å l l e t; d u h a r b \leq a s å o m b < a s å m å s t e b^{10} < (b^{9}) a < (b^{8}) a^{2} . . . < (a^{8}) b^{2} < (a^{9}) b < a^{10}$ Vad kan du säga då?

förstår inte riktigt det där med varför det måste bli b^10<(b^9)a<(b^8)a^2..?

$o m d u h a r b < a o c h m u l t i p l i c e r a r m e d a e l l e r b s å m å s t e d e t g ö r a s p å b å d a s i d o r n a t . e x b < a \to b^{2} < a b \to b^{3} < a (b^{2}) t i l l s b^{10} < a (b^{9}) O m v i g ö r s a m m a m e d a s å f å r v i b (a^{9}) < a^{10}, v i v i l l v i s a a t t b^{10} < a^{10} s å v i m u l t i p l i c e r a r m e d b o c h a : b < a \to b^{2} < a b \to a^{8} (b^{2}) < (a^{9}) b M e d " a^{8} (b^{2}) < (a^{9}) b " o c h " b (a^{9}) < a^{10} " s å f å r v i a^{8} (b^{2}) < a^{10} f o r t s ä t t e r m a n m u l t i p l i c e r a m e d 1 m e r b o c h 1 m i n d r e a s å f å r v i t i l l s l u t b^{10} < a^{10}$

Ryszard skrev:
$o m d u h a r b < a o c h m u l t i p l i c e r a r m e d a e l l e r b s å m å s t e d e t g ö r a s p å b å d a s i d o r n a t . e x b < a \to b^{2} < a b \to b^{3} < a (b^{2}) t i l l s b^{10} < a (b^{9}) O m v i g ö r s a m m a m e d a s å f å r v i b (a^{9}) < a^{10}, v i v i l l v i s a a t t b^{10} < a^{10} s å v i m u l t i p l i c e r a r m e d b o c h a : b < a \to b^{2} < a b \to a^{8} (b^{2}) < (a^{9}) b M e d " a^{8} (b^{2}) < (a^{9}) b " o c h " b (a^{9}) < a^{10} " s å f å r v i a^{8} (b^{2}) < a^{10} f o r t s ä t t e r m a n m u l t i p l i c e r a m e d 1 m e r b o c h 1 m i n d r e a s å f å r v i t i l l s l u t b^{10} < a^{10}$

börjar förstå nu allt bättre. Ska fundera en liten stund till på den bara sedan ska jag försöka framställa ett motsägelsebevis.

Kan jag göra på följande sätt: Anta att om a och b är positiva (reella) heltal och a^10>a^10 så gäller att b $\leq$ a.

b/a $\leq$ 1. (b/a)^2 $\leq$ b/a. (b/a)^2 $\leq$ 1. (b/a)^10 $\leq$ 1.

b^10/a^10>1. (b^10/a^10)^2>b^10/a^10. (b^10/a^10)^10>1.

Vilket leder till motsägelse eftersom det är b $\leq$ a vilket är tvärtemot det som gällde alltså b>a.

Inte helt klockrent tanke jag fick men tycker ändå att den är rimlig?

Tycker somsagt att det är lite svårt med bevismetoder...

Skulle du kunna förtydliga, $(b / a)^{10} \leq 1 \Rightarrow (b^{10} / a^{10}) > 1 ?$ , Tror jag förstår iden du går för, den är rätt, bara du kan förtydliga. i första tror jag du visar med: $b \leq a \to (b^{10} / a^{10}) \leq 1 . o c h i a n d r a b^{10} > a^{10} \to (b^{10} / a^{10}) > 1, v i l k e t ä r n o g a v e n m o t s ä g e l s e$ , kom bara ihåg att ANTA information $b \leq a$ eftersom den leder till motsägelse, du kan t.ex säga, "låt $b \leq a$ "

Tack för hjälpen! Behöver träna på dessa uppgifter märker jag, sedan får jag hoppas på att det någon gång lossnar., :)

Svara

Visa senaste svar