Bevisa med hjälp av satsen om mellanliggande värden
Hej!
Jag har fått en uppgift som jag har försökt lösa men har inget facit. Skulle uppskatta lite hjälp för att se om jag har tänkt rätt!
Visa med hjälp av satsen om mellanliggande värden att har ett nollställe mellan −1 och 0. Ligger nollstället närmare −1 eller närmare 0? Hur kan du vara säker på att det inte finns flera nollställen?
Satsen om mellanliggande värden lyder:
Antag att f är kontinuerlig på det slutna och begränsade intervallet [a,b] och att f(a) ej är lika med f(b). Då antar f varje värde mellan f(a) och f(b) på intervallet [a,b].
p(-1) är -1 och p(0) är 1 vilket betyder att p(x) måste anta värdet 0 i intervallet [-1,0] då funktionen är ett polynom och därför kontinuerlig.
Alltså har jag bevisat att funktionen har ett nollställe i intervallet.
Däremot är jag osäker på hur man kan ta reda på om nollstället ligger närmare -1 eller 0. Uppgiften ska lösas utan grafräknare.
När det gäller den sista frågan har jag kommit fram till att jag inte utan att rita upp funktionen kan vara säker på att det endast finns ett nollställe. Det kan alltså finnas flera då satsen inte säger mer än att det finns. Stämmer det?
Hej och välkommen hit.
OM det är så att det finns flera nollställen, så kan inte kurvan fortsätta uppåt hela tiden, utan måste vända neråt och sedan upp igen. (Rita, om inte det här är helt självklart).
Då ska vi se... uppåt och sedan neråt... vad skulle det bli för sorts punkt där... ?
Om nollstället ligger närmare -1 än 0 så måste det alltså komma i intervallet [-1, -1/2), så undersök om det finns ett nollställe där.
Det är korrekt att du inte enbart från den där satsen kan dra slutsatsen att det bara finns ett nollställe. Men om funktionen är växande på intervallet, då kan det ju som mest bara finnas ett enda nollställe, så undersök om den är växande på intervallet.
Tack för svaren!
Då ska vi se... uppåt och sedan neråt... vad skulle det bli för sorts punkt där... ?
Jag antar att du syftar på en maxpunkt. Jag är väldigt dålig på att rita funktioner, men eftersom polynomet utgörs av x med udda exponenter gissar jag på att den endast kommer att växa i intervallet [-1,0]. Därför borde y bara bli 0 på en punkt?
Om nollstället ligger närmare -1 än 0 så måste det alltså komma i intervallet [-1, -1/2), så undersök om det finns ett nollställe där.
Jag är med på vad du menar. Men satsen om mellanliggande värden gäller väl endast för slutna, begränsade intervall? Alltså kan jag inte använda den för att bevisa att ett nollställe finns i [-1, -1/2) eftersom det är halvöppet?
Jag skulle däremot kunna räkna ut p(-1/2) för att se om 0 inte ligger mellan p(-1/2) och p(0). Men är det meningen att jag ska kunna räkna ut p(-1/2) utan räknare?
Ja, du ska kunna räkna ut p(-1/2) utan miniräknare. Du kan använda satsen för att visa att det finns ett nollställe i intervallet [-1, -1/2). Eftersom p(-1/2) > 0 och p(-1) < 0 så har du ju att det måste finnas ett nollställe i intervallet [-1, -1/2], då p(-1/2) inte är noll så ligger alltså nollstället i intervallet [-1, -1/2).
Sedan, du kan inte konstatera att det inte finns ett nollställe i intervallet [-1/2, 0] genom att konstatera att p(-1/2) > 0 och att p(0) > 0. Satsen säger inte att det är endast värdena mellan p(-1/2) och p(0) som antas.
Exempelvis med funktionen f(x) = x^2 - 1, så har vi att f(-2) = 3 och att f(3) = 8, så om vi hade dragit slutsatsen att ett nollställe inte finns i intervallet [-2, 3] eftersom noll inte ingår i intervallet [3, 8] så hade vi misstagit oss.
Okej, jag förstår! Tack för förklaringen.
"Eftersom p(x) hela tiden växer i intervallet [-1,0] måste det endast finnas ett nollställe i intervallet.
Vi kan dra slutsatsen att nollstället ligger närmare -1. Då p(-1) = -1 och p(-1/2) = 27/32 (större än 0) måste nollstället ligga i intervallet [-1,-1/2) enligt satsen om mellanliggande värden."
Förstår man om jag svarar så?
Hur motiverar du att p(x) är växande i hela intervallet?
Resten av motiveringen tycker jag är OK.
Derivatan är positiv i intervallet. Därför tänker jag att funktionen måste vara växande.
Just det. Nu tycker jag att din motivering är tillräcklig.
Vad bra, tack så jättemycket allihopa! :)
