Bevisa logaritmbasändringsformel

Log3(5)=log5/log3

Jag kommer ihåg att jag och min mattelärare diskuterade en fråga som var "förenkla blah blah blah så långt så möjligt". Svaret han kom fram till var log5/log3, efter det klåttrade jag något på tavlan (eftersom jag inte gillade det där delarstrecket) och så vips log3(5). Jag kommer inte ihåg exakt vad jag skrev, men jag kommer ihåg att jag förlängde bråket log5/log3 på något sätt. Vad gjorde jag? Vad förlängde jag med?

En variant är att vi utgår från ekvationen

$3^{x} = 5$

Ta logaritmen av båda led

$\log (3^{x}) = \log (5)$

Tillämpa logaritmlag i VL

$x \log 3 = \log 5$

så

$x = \frac{\log 5}{\log 3}$

Men vänta nu, vi har ju inte sagt vilken bas vi använder, så det kan vi välja fritt. Tar vi 3 som bas blir nämnaren 1 och vi får

$x = \log_{3} 5$

men man kan ju också ta t.ex 17 som bas och få

$x = \frac{\log_{17} 5}{\log_{17} 3}$

Okej, men hur kommer man från log5/log3 till log3(5) enbart genom att förlänga bråket? Är det möjligt?
Förresten, är log10(5)/log10(3)=loga(5)/loga(3) där a är något positivt nummer?

Hm, det tror jag spontant inte.

Ja, kvoten av två logaritmer med samma bas är oberoende av valet av bas.

Svara

Visa senaste svar