bevisa Leibniz formel mha induktion

Har visat att det gäller för n=1 och antagit att det gäller för alla n större eller lika med 1 att $(f \times g)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) f^{k} g^{n - k}$ .

Sedan i fallet med n+1 blir det svårt tycker jag.

Har bara gjort följande: ${(f \times g)}^{n + 1} = (\sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) f$ ^kg^n-k)'

men hur tar ja det vidare?

Tacksam för hjälp!! :)

En summa kan deriveras term för term. Därför får du enligt produktregeln:

$\displaystyle\left(fg\right)^{(n+1)}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\left(f^{(n-k+1)}g^{(k)}+f^{(n-k)}g^{(k+1)}\right)$

Härefter följer några manipulationer som inte är helt lätta att komma på. Jag ger dig en start:

$\displaystyle=\sum_{k=0}^n {n\choose k}f^{(n-k+1)}g^{(k)}+\sum_{k=0}^n{n\choose k}f^{(n-k)}g^{(k+1)}$

I den högra summan gör vi nu ett indexbyte och byter $k$ mot $k-1$ :

$\displaystyle=\sum_{k=0}^n {n\choose k}f^{(n-k+1)}g^{(k)}+\sum_{k=1}^{n+1}{n\choose k-1}f^{(n-k+1)}g^{(k)}$

Nu kan du försöka knyta ihop säcken med någon identitet för binomialkoefficienter. Fråga gärna om det är något i ovanstående du inte är helt med på.

AlvinB skrev:
En summa kan deriveras term för term. Därför får du enligt produktregeln:
$\displaystyle\left(fg\right)^{(n+1)}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\left(f^{(n-k+1)}g^{(k)}+f^{(n-k)}g^{(k+1)}\right)$
Härefter följer några manipulationer som inte är helt lätta att komma på. Jag ger dig en start:
$\displaystyle=\sum_{k=0}^n {n\choose k}f^{(n-k+1)}g^{(k)}+\sum_{k=0}^n{n\choose k}f^{(n-k)}g^{(k+1)}$
I den högra summan gör vi nu ett indexbyte och byter $k$ mot $k-1$ :
$\displaystyle=\sum_{k=0}^n {n\choose k}f^{(n-k+1)}g^{(k)}+\sum_{k=1}^{n+1}{n\choose k-1}f^{(n-k+1)}g^{(k)}$
Nu kan du försöka knyta ihop säcken med någon identitet för binomialkoefficienter. Fråga gärna om det är något i ovanstående du inte är helt med på.

Tack så mycket nu blev det solklart! :)

Svara