2 svar
74 visningar
lamayo behöver inte mer hjälp
lamayo 2570
Postad: 23 dec 2019 14:46 Redigerad: 23 dec 2019 14:48

bevisa Leibniz formel mha induktion

Har visat att det gäller för n=1 och antagit att det gäller för alla n större eller lika med 1 att (f×g)(n)=k=0nnkfkgn-k.

Sedan i fallet med n+1 blir det svårt tycker jag. 

Har bara gjort följande: (f×g)n+1=(k=0nnkfkgn-k)'

men hur tar ja det vidare?

Tacksam för hjälp!! :)

AlvinB 4014
Postad: 23 dec 2019 15:22

En summa kan deriveras term för term. Därför får du enligt produktregeln:

fg(n+1)=k=0nnkf(n-k+1)g(k)+f(n-k)g(k+1)\displaystyle\left(fg\right)^{(n+1)}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\left(f^{(n-k+1)}g^{(k)}+f^{(n-k)}g^{(k+1)}\right)

Härefter följer några manipulationer som inte är helt lätta att komma på. Jag ger dig en start:

=k=0nnkf(n-k+1)g(k)+k=0nnkf(n-k)g(k+1)\displaystyle=\sum_{k=0}^n {n\choose k}f^{(n-k+1)}g^{(k)}+\sum_{k=0}^n{n\choose k}f^{(n-k)}g^{(k+1)}

I den högra summan gör vi nu ett indexbyte och byter kk mot k-1k-1:

=k=0nnkf(n-k+1)g(k)+k=1n+1nk-1f(n-k+1)g(k)\displaystyle=\sum_{k=0}^n {n\choose k}f^{(n-k+1)}g^{(k)}+\sum_{k=1}^{n+1}{n\choose k-1}f^{(n-k+1)}g^{(k)}

Nu kan du försöka knyta ihop säcken med någon identitet för binomialkoefficienter. Fråga gärna om det är något i ovanstående du inte är helt med på.

lamayo 2570
Postad: 23 dec 2019 15:57
AlvinB skrev:

En summa kan deriveras term för term. Därför får du enligt produktregeln:

fg(n+1)=k=0nnkf(n-k+1)g(k)+f(n-k)g(k+1)\displaystyle\left(fg\right)^{(n+1)}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\left(f^{(n-k+1)}g^{(k)}+f^{(n-k)}g^{(k+1)}\right)

Härefter följer några manipulationer som inte är helt lätta att komma på. Jag ger dig en start:

=k=0nnkf(n-k+1)g(k)+k=0nnkf(n-k)g(k+1)\displaystyle=\sum_{k=0}^n {n\choose k}f^{(n-k+1)}g^{(k)}+\sum_{k=0}^n{n\choose k}f^{(n-k)}g^{(k+1)}

I den högra summan gör vi nu ett indexbyte och byter kk mot k-1k-1:

=k=0nnkf(n-k+1)g(k)+k=1n+1nk-1f(n-k+1)g(k)\displaystyle=\sum_{k=0}^n {n\choose k}f^{(n-k+1)}g^{(k)}+\sum_{k=1}^{n+1}{n\choose k-1}f^{(n-k+1)}g^{(k)}

Nu kan du försöka knyta ihop säcken med någon identitet för binomialkoefficienter. Fråga gärna om det är något i ovanstående du inte är helt med på.

Tack så mycket nu blev det solklart! :)

Svara
Close