Bevisa konvergens

Jag har en uppgift där man ska bevisa att ett tal konvergerar mot noll men är inte helt med på hur man ska bevisa det även om jag är med på att talet kommer att närma sig noll.

Uppgiften är: Bevisa att $a_{n} = \frac{1000}{n^{3}}$ konvergerar mot 0

Ska man alltid anta att n går mot oändlighet eftersom vi inte har någon annan information om n? och i sådana fall får vi att 1000 delas med oändlighet och kommer väl då att bli ett väldigt litet tal om än inte noll?

Hej!

Du ska visa att det går att få talet $a_n$ hur nära $0$ som helst om man bara ser till att välja index $n$ tillräckligt stort.

det jag har svårt med är hur man praktiskt bevisar det, jag förstår i teorin att det blir så men inte riktigt hur det är meningen att man ska bevisa att det är så.

Börja med att strunta i potensen 3 och visa att det går att få talet $1000/n$ hur nära 0 som helst om man väljer index $n$ tillräckligt stort.

Börja med att studera avståndet mellan $1000/n$ och talet 0. Hur stort är detta avstånd?

det enda jag tänker på är att sätta $\frac{l i m}{n \to \infty} \frac{1000}{n} = 0$ men är det rätt väg att gå?

K.Ivanovitj skrev:
det enda jag tänker på är att sätta $\frac{l i m}{n \to \infty} \frac{1000}{n} = 0$ men är det rätt väg att gå?

Varför svarar du inte på min fråga? Hur stort är avståndet mellan $1000/n$ och talet noll?

jag är inte riktigt med på hur vi ska få fram avståndet, det jag kan tänka på är att man ska använda felmarginalen $ε$ och givet $ε > 0$ ska vi se hur stort n måste vara för att $a_{n} = \frac{1000}{n}$ är inom $ε$ av 0.

$|1000 / n - 0| < ε$ och detta uppfylls om $\frac{1000}{n} < ε$ som vi väl kan skriva om till $n > \frac{1000}{ε}$

K.Ivanovitj skrev:
jag är inte riktigt med på hur vi ska få fram avståndet, det jag kan tänka på är att man ska använda felmarginalen $ε$ och givet $ε > 0$ ska vi se hur stort n måste vara för att $a_{n} = \frac{1000}{n}$ är inom $ε$ av 0.
$|1000 / n - 0| < ε$ och detta uppfylls om $\frac{1000}{n} < ε$ som vi väl kan skriva om till $n > \frac{1000}{ε}$

Just så.

Om du vill att avståndet mellan $1000/n$ och 0 ska vara mindre än epsilon så måste du välja ett index $n$ som är större än 1000/epsilon. Eftersom avståndet epsilon kan väljas godtyckligt litet har du härmed visat att $1000/n$ konvergerar mot 0 när index $n$ växer.

Kan du genomföra samma resonemang för talföljden $1000/n^2$ ?

för $1000 / n^{2}$ skulle jag börja på samma sätt och få $|1000 / n^{2} - 0| < ε$ och sedan $\frac{1000}{n^{2}} < ε$ och sedan bryta ut n till

$n^{2} > \frac{1000}{ε}$ och sedan ta roten ur och vi får $n > \frac{\sqrt{1000}}{\sqrt{ε}}$

jag hade ett annat liknande exempel där man bevisade att $a_{n} = \frac{1}{n}$ konvergerar mot noll och det löstes genom att sätta $|\frac{1}{n} - 0| < ε$ vilket stämmer om $\frac{1}{n} < ε$ och $n > \frac{1}{ε}$ vilket är så långt jag kommit med $\frac{1000}{n^{3}}$ men i exemplet med 1/n fick man sedan att $N = \frac{1}{ε}$ och givet $ε > 0$ så då n>N får vi $|a_{n} - L| = |\frac{1}{n} - 0| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} = ε$ så $\frac{1}{n} < ε$

ska man i vårat fall då sätta $N = \frac{1000}{ε}$

Jag tror att jag har kommit en bit påvägen nu, jag har:

För att hitta hur stort N ska vara satte jag $\frac{1000}{n^{3}} < ε$ endast om $n > \frac{10}{\sqrt[3]{ε}}$

Då finns det ett $N (ε) \in N$ sådant att $N > \frac{10}{\sqrt[3]{ε}}$ dvs $\frac{1000}{N^{3}} < ε$

Om n>N så får vi att $\frac{1000}{n^{3}} < \frac{1000}{N^{3}} < ε$

men jag är inte helt säker på om jag har gjort rätt

Svara

Visa senaste svar