Bevisa kontinuitet av sin x

Halloj!

Under en av de senaste föreläsningarna i envariabelanalys ville vår föreläsare visa med gränsvärden att $\sin x$ är kontinuerlig i alla punkter $x=a$. Det som ska visas är alltså att $\forall a\in\mathbb{R}$:

$\displaystyle \lim_{x \to a} \left(\sin x\right)=\sin\left(a\right)$

Han började med att göra variabelbytet $x=a+h$ och dra slutsatsen att då $x\to a$ går $h \to 0$. Han skrev sedan om gränsvärdet:

$\displaystyle \lim_{x \to a} \left(\sin x\right)=\lim_{h \to 0} \left(\sin (a+h)\right)$

Redan i detta steg tycker jag det är konstigt. Vad är det som säger att vi kan göra ett sådant variabelbyte? För mig verkar det som att man redan måste veta att funktionen är kontinuerlig för att det ska fungera. Hur som helst fortsatte han så här:

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \left(\sin (a+h)\right)=\lim_{h \to 0} \left(\sin\left(a\right)\cos\left(h\right)+\cos\left(a\right)\sin\left(h\right)\right)$

Sedan använde han att: 

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \sin\left(h\right)=0$

Men detta kritiska steg förutsätter väl också att sinus är kontinuerlig, dvs. precis det som ska visas? Annars kan man ju inte dra den slutsatsen, eller? Jag tycker hela "beviset" verkar cirkulärt. Det verkar som om han har visat att sinus är kontinuerlig genom att använda att sinus är kontinuerlig.