bevisa integrerbarhet

Hej,

Uppgiften är att visa att funktionen är integrerbar (riemanintegrerbar) på intervallet [0,1].

Jag har letat lite på nätet och hittade en lösning som sa följande:

$L å t 0 < ε < 1 . V ä l j s e d a n e t t n s å a t t \frac{1}{n} < ε < \frac{1}{n - 1} . S k a p a s e d a n u p p d e \ln i n g e n P : 0 < \frac{1}{n} < \frac{1}{n - 1} < \frac{1}{n - 2} < \frac{1}{n - 3} . . . . . . < 1 A v o v a n s t å e n d e f ö l j e r a t t m a x - v ä r d e t i f ö r s t a i n t e r v a l l e t (0 t i l l \frac{1}{n}) ä r 1 o c h 0 i a l l a a n d r a . D ä r f ö r ä r U (f, P) = \frac{1}{n} < ε o c h d å L (f, P) = 0 ä r : U (f, P) - L (f, P) < ε$

Det jag inte riktigt fattar är varför just bara första intervallet har punkter som är = 1, alltså att x tillhör E.

Ditt E är punkterna 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5.. osv Du tar dig alltså bara närmare 0 hela tiden.

Om du drar intervallen som de föreslår kommer du får gränserna precis på de talen, och du har strikt olikhet så de kommer inte med. Men det finns alltid mindre tal mellan 0 och den första gränsen du väljer.

ah, fattar, tack. Går det bra att ha en sådan uppdelning med strikt olikhet, eller måsta man ha "eller lika med"-tecken?

Känns lite som att man fuskar genom att "ta bort" alla x tillhörande E...

Vad säger definitionen/satsen du använder?

Då U(f,P) är en trappfunktion antar jag att denna definition som gäller. Som jag tolkar det måste det vara ”eller lika med”-tecken. Då kanske inte det beviset funkar…

Är beviset fortfarande giltigt?

Inte tillsammans med din text om trappfunktioner. Jag kan inte säga så mycket mer utan att veta enligt vilken definition din fråga vill ha det bevisat. Jag försökte googla om det fanns någon vanlig def men hittade bara den här, och då är det ju så uppenbart att inget bevis behövs.

Det kriterium Mickimacko angivit kan också formuleras: en Riemann-integrerbar funktion har som mest uppräkneligt många diskontinuiteter. Din funktion har ju lika många diskontinuiteter som det finns heltal så den är Riemann-integrerbar. Men det är kanske ett dumt sätt att lösa uppgiften.

Men man kan absolut lösa detta med över och underintegraler.

Underintegralen är uppenbart noll.

För att beräkna överintegralen kan man göra ex så här.

Dela in i intervallen: $0 \leq 1 / n \leq 2 / n \leq . . . \leq 1$

Över-Riemannsumman blir:

$\frac{1}{n} \sum_{1}^{n} I (\frac{k - 1}{n}, \frac{k}{n})$

där I(a,b) är 1 om något tal på formen 1/k finns i intervallet [a,b].

Observera att för $k \geq n$ ligger 1/k i det första intervallet.

Och förr $n \geq k \geq \sqrt{n}$ ligger 1/k i något av de första $\sqrt{n}$ intervallen.

För $k \leq \sqrt[]{n}$ slutligen så är det bara $\sqrt{n}$ punkter och kan som mest ligga i $\sqrt{n}$ olika intervall.

Så i summan

$\frac{1}{n} {\sum I}_{1}^{n} (\frac{k - 1}{n}, \frac{k}{n})$

är alla utom som mest $2 \sqrt{n}$

termer 0 och de övriga 1.

Så vi får:

$U (f, P) \leq \frac{1}{n} 2 \sqrt{n} = \frac{2}{\sqrt{n}}$

vilket går mot 0 när n går mot oändligheten.

Så underintegralen är lika med överintegralen, så funktionen är integrerbar.

Svara

Visa senaste svar