Bevisa Integrerande Faktorer för Differentialekvation

Upg: Antag att $ϕ_{1}$ och $ϕ_{2}$ är integrerande faktorer till samma differentialekvation

y' + f(x)y = g(x)

Visa att $ϕ_{1}$ = $C ϕ_{2}$ , där C är en konstant.

Mitt försök:

(F är primitiv till f)

$ϕ_{1} = e^{F (x)}$

Förläng ekv med IF:

$e^{F (x)} y' + e^{F (x)} f (x) y = e^{F (x)} g (x)$

Kontrollera IF genom derivering:

$(e^{F (x)} y)' = f (x) e^{F (x)} y + e^{F (x)} y'$

Kontrollen visar att deriveringen är samma som ovanstående VL, alltså fungerar den valda IF.

Sätter derivatan = HL samma ekv:

$(e^{F (x)} y)' = e^{F (x)} g (x)$

$\Rightarrow e^{F (x)} y = \int e^{F (x)} g (x) d x$

Här tänker jag att man ska göra partiell integration för att få ut integralen och därefter kunna få ekvationen på en form av " y = ..." men märker snabbt att det inte verkar kunna lösa ut sig på det sättet.

$\int e^{F (x)} g (x) d x = f (x)^{- 1} e^{F (x)} g (x) - \int f (x)^{- 1} e^{F (x)} g' (x) d x$

Gör jag något fel i det sista steget eller borde jag prova en annan lösningsmetod? Har haft samma tillvägagångssätt som när jag löser ut diff ekv för mer specifika siffror. Variabelbyte känns inte som att det skulle hjälpa till något.

Min tanke är i alla fall att man ska få ut ett någorlunda mer specifikt värde för y med hjälp av $ϕ_{1}$ och sedan göra samma sak för $ϕ_{2}$ . Därefter jämföra deras svar och då ska man, kanske med en liten omskrivning, kunna visa det uppiften söker.

Provade att sätta $ϕ_{2} = - e^{F (x)}$

vilket fungerar med samma kontroll som ovanstående men hjälpte inte till att komma fram till en lösning för uppgiften.

Eftersom två primitiva funktioner till samma funktion enbart skiljer med en konstant kommer den andra primitiven vara $F(x)$ plus någon konstant $C_1$ . Då får vi ju:

$\phi_2=e^{F(x)+C_1}=C_2e^{F(x)}=C\cdot\phi_1$

Hänger du med på det?

AlvinB skrev:
Eftersom två primitiva funktioner till samma funktion enbart skiljer med en konstant kommer den andra primitiven vara $F(x)$ plus någon konstant $C_1$ . Då får vi ju:
$\phi_2=e^{F(x)+C_1}=C_2e^{F(x)}=C\cdot\phi_1$
Hänger du med på det?

Hm, jag tror det. Bygger det på argument av typ att $e^{F (x) + C 1} = e^{F (x)} e^{C 1}$

där $e^{C 1}$ enbart är en konstant och uttrycket då kan skrivas om som $C_{2} e^{F (x)}$ ?

"två primitiva funktioner till samma funktion enbart skiljer med en konstant"

Hur hänger det (ang. konstanten) ihop med att IF1 kan se ut som $e^{x^{2}}$ till samma funktion som för IF2 = $e^{x}$ ?

Ja, det följer ju från potenslagarna att:

$e^{F(x)+C_1}=e^{F(x)}\cdot e^{C_1}=C_2e^{F(x)}$

Eftersom $e^{C_1}$ bara är en annan konstant kan man döpa om den till $C_2$ .

Jag förstår inte vad du menar med ditt exempel. $e^{x^2}$ och $e^x$ kan omöjligen vara integrerande faktor till samma funktion. Eftersom de primitiva funktionerna skall ha samma derivata får man ju:

$F_1'(x)=F_2'(x)$

och integrerar man båda led får man:

$F_1(x)+C_1=F_2(x)$

Således skiljer sig de primitiva funktionerna enbart på en konstant, och därmed kan man göra förenklingen med potenslagarna som jag beskrev tidigare.

Ahh, tack! Jag förstår nu :)

Inte jag heller haha, mindes det som att jag tog det från boken men ingenting i boken liknar det jag skrev så måste blivit fel i min hjärna.

Hej!

Du vet att $\phi_1$ och $\phi_2$ båda är integrerande faktor till samma differentialekvation. Det betyder att

$\phi_1(x) = e^{F(x) + C_1}$ och $\phi_2(x) = e^{F(x) + C_2}$

där $C_1$ och $C_2$ är konstanter och funktionen $F(x)$ är sådan att $F'(x) = f(x)$ .

Bilda kvoten $(\phi_1/\phi_2)(x).$ Denna kan skrivas

$e^{F(x) + C_1 - F(x) -C_2} = e^{C_1-C_2},$

vilket är en konstant.

Svara

Visa senaste svar