Bevisa inom trigonometri
Här är en uppgift som jag grubblat över:
Bevisa eller motbevisa följande: "Ifall vinkeln A är sådan att Sin(A) och Cos(A) är rationella är vinkeln A/2 också sådan att Sin(A/2) och Cos(A/2) är rationella."
Inser att detta sambandet kan motbevisas med A=90o men undrar om det finns ett annat bevis till detta som inte använder sig av ett exempel
Sättet man motbevisar ett påstående om att något ska gälla allmännt (för alla objekt av något slag) är genom att hitta motexempel. Ibland kan det vara så att man kan undvika att hitta ett specifikt motexempel utan att man kan formulera ett argument för att det måste finnas ett motexempel men sådana är onödiga när motexemplet är enkellt att uttrycka.
Jag skulle nöja mig med det där
Om man har påståenden som är otympliga att hitta specifika exempel för då kan det vara enklare att hitta
Alla primtal är mindre än
Att hitta ett faktiskt primtal som är större än är svårt så i det fallet är det kanske enklare att göra ett argument av typen.
1. Det finns oändligt många primtal (bevisas med motsägelsebevis)
2. Därmed finns det fler än primtal
3. Därmed måste några av de primtalen vara större än
4. Därmed existerar ett primtal som är större än
För ditt fall finns ingen sådan svårighet men kan få lite mer insikt om varför påståendet stämmer väldigt sällan genom att kolla på halvvinkelsformlerna, exempelvis
Där vi har en där kvadratroten som har ganska stor chans att spotta ut ett irrationellt tal om talet innanför roten är rationellt. Det exkluderar dock inte möjligheten att vissa cos/sin-värden kanske ger halvvinklar med rationella trig-värden.
Men då är man inne på den betydligt starkare frågan:
Finns det någon vinkel A överhuvudtaget sådan att sin(A), cos(A) är rationella och där både sin(A/2) och cos(A/2) är rationella? Vad är kravet i så fall?)
Kan man bevisa att det finns ett krav som därmed exkluderar några fall så har man bevisat ursprungspåståendet indirekt.
