bevisa gränsvärde med den formella definitionen

Om x är större än 1 men mindre än 3 så är |x-4| ett positivt tal som är större än 1 men mindre än 3. Om man dividerar 8 med ett positivt tal som är större än 1 så blir resutlatet mindre än 8. Man har valt just 8 för att det skall bli enkla siffror att räkna med i nästa steg.

Hej! vi börjar från $\left|\frac{4x}{x-4}-(-4)\right|<\epsilon \Rightarrow \left|\frac{4x+4(x-4)}{x-4}\right|=\left|\frac{8x-16}{x-4}\right|=\left|\frac{(x-2)8}{x-4}\right|=\left|x-2\right|\left|\frac{8}{x-4}\right|<\epsilon$

Vi har vårat eftersökta uttryck $\left|x-2\right|$ men också en annan term beroende av x, målet är att finna en konstant $c$ så att om $0<\left|x-2\right|<\delta$ så är $\left|x-2\right|\left|\frac{8}{x-4}\right|<\left|x-2\right|c<\epsilon$ 

Om vi sätter som exempel $\delta =1$. så blir ju $0<\left|x-2\right|<1$ vilket är samma sak som $-1<x-2<1\iff 1<x<3$

och så får vi ut att $3<\left|x-4\right|<1$och då måste $\frac{8}{\left|x-4\right|}<8$ 

Låt oss nu sätta $c=8$ då blir $\left|x-2\right|< \frac{\epsilon }{8}$ och vi får då ut att $\delta =min(1,\frac{\epsilon }{8})$

Så hela idén är (kortfattat) att om $f$ närmar sig ett tal $L$ nära $a$ och vi har uttrycket  $\left|x-a\right|\left|g\left(x\right)\right|<\epsilon$

Så kan vi välja ett $\delta$ och sedan ett $c$ så att $\left|g\left(x\right)\right|<c$ och då blir $\left|x-a\right|<\frac{\epsilon }{c}$

Om talet $x$ ligger någonstans mellan talen $1$ och $3$ så är avståndet mellan $x$ och talet $4$ åtminstone $1$, vilket kan skrivas som $|x-4| > 1$. Då följer det att $1/|x-4| <>$ och även att $8/|x-4| <>$