10 svar
522 visningar
Zachis behöver inte mer hjälp
Zachis 43
Postad: 20 dec 2020 18:24

bevisa gränsvärde

Visa att

limx3x+1=2.

Jag förstår inte riktigt hur jag ska bevisa det här. Jag antar att jag använder definitionen av ett gränsvärde vilket är:

limxaf(x)=L om följande uppfylls: 

För varje ε>0 så existerar ett δ>0 så att 0<x-a<δ  f(x)-L<ε.

Men hur hjälper det här mig? Någon som har en ledtråd?

Fermatrix 7841 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2020 18:37 Redigerad: 20 dec 2020 18:39

Hej, är det tvunget att vara epsilon delta beviset eller räcker derivatans definition?

Om det handlar om epsilon delta vilket det förmodligen gör kanske detta är till hjälp.
https://sv.wikipedia.org/wiki/Epsilon-delta-bevis

Zachis 43
Postad: 20 dec 2020 18:38

Nä derivatans definition duger nog fint

cjan1122 416
Postad: 20 dec 2020 18:40

Du vill visa att  x+1-2<ε   för alla  0<x-3<δ som du skrev ovan.

Förlängning med konjugat ger att x+1-2 = x+1-4x+1+2 = x-3x+1+2 < ε

Där ser du att |x-3| som ska vara mindre än delta dyker upp i täljaren. Kommer du vidare?

Fermatrix 7841 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2020 18:40

Då kan du ju ställa upp derivatans definition, f(x+h)-f(x)h\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} och låta h gå mot 0

Zachis 43
Postad: 20 dec 2020 20:00

Okej, så

x+1-2 = x+1-4x+1+2 = 1x+1+2 x-3< ε

och eftersom att 1x+1+212 så kan man skriva

 1x+1+2 x-312x-3<122ε=ε eftersom att 2ε>δ?

Ska jag vara helt ärlig så fattar jag inte riktigt vad jag gjort eller vad det visar. 

booleano 11
Postad: 21 dec 2020 11:21 Redigerad: 21 dec 2020 11:23

Du har visat att

|x+1-2| 12|x-3|. (Ekvation 1)

Låt nu ε>0. Vi ställer oss nu frågan: Finns ett δ>0 så att om |x-3|<δ så gäller att

12|x-3| < ε?

För om det gör det så konvergerar gränsvärdet enligt epsilon-delta-definitionen.

Du har faktiskt visat att det finns ett sådant δ, även om du inte skrivit ut det tydligt. Nämligen δ=2ε. För om |x-3|<2ε så får vi i (Ekvation 1) att

12|x-3| < 122ε =ε.

Dr. G 9479
Postad: 21 dec 2020 13:52
Dracaena skrev:

Då kan du ju ställa upp derivatans definition, f(x+h)-f(x)h\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} och låta h gå mot 0

Hur hjälper derivatan här? Bevis av ett gränsvärde genom att använda ett annat som bygger på att det första gränsvärdet existerade?

Fermatrix 7841 – Fd. Medlem
Postad: 21 dec 2020 14:15

Du har helt rätt Dr. G, Jag var själv osäker om derivatans definition och därför skrev jag i mitt första inlägg,

Om det handlar om epsilon delta vilket det förmodligen gör kanske detta är till hjälp.
https://sv.wikipedia.org/wiki/Epsilon-delta-bevis

men precis som du poängterar handlar detta mycket riktigt om epsilon delta beviset och inte om derivatans def som jag föreslog tidigare i tråden. Nu vet till och med jag det till nästa gång. Tack för rättningen! :)

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 21 dec 2020 15:57

Hej,

Definiera deriverbara funktionen f(x)=x+1f(x)=\sqrt{x+1} och studera f(x)-f(3)f(x)-f(3). Enligt Lagranges medelvärdessats finns det ett tal cc någonstans mellan 33 och xx sådant att

    f(x)-f(3)=f'(c)·(x-3)f(x)-f(3)=f^\prime(c)\cdot(x-3)

där derivatan

   f'(c)=12c+1<123+1f^\prime(c)=\frac{1}{2\sqrt{c+1}}<\frac{1}{2\sqrt{3+1}}.

Det följer att det går att få |f(x)-f(3)||f(x)-f(3)| mindre än ϵ\epsilon om man bara väljer |x-3||x-3| tillräckligt litet.

PATENTERAMERA 5981
Postad: 22 dec 2020 01:30

Om vi får anta att funktionen är deriverbar så blir ju problemet trivialt eftersom funktionen då är kontinuerlig och limx3f(x) = f(3) = 4 = 2.

Svara
Close