bevisa en till bevis!

God morgon Daja.

Nja det står att den intresserade läsaren uppmanas att fundera över hur man kan bevisa sambandet.

Men eftersom du är en intresserad läsare så jar du förstås funderat.

Har du prövat att skriva ut de tre termerna?

De är ju ganska lika.

Tre termer med lite olika täljare och nämnare.

Jo, det är klart att jag är en fundersam, intresserad läsare. Men de verkar ta kursen lite över benet som vi säger på franska.

Ska sätta mig och testa din förslag.

Jag skulle ge tips på att bevisa det på ett annat sätt än algebraiskt. Man brukar kalla det för ett kombinatoriskt bevis. Det går till såhär

Man hittar på ett kombinatoriskt problem där svaret är $\binom{n + 1}{k}$. Sedan så löser man samma problem men på ett annat sätt så att man kommer fram till svaret $\binom{n}{k} + \binom{n}{k - 1}$. Detta visar att likhet mellan dem måste gälla.

I detta fall är det problem jag rekommenderar: Hur många sätt kan man välja ut k objekt från n + 1 objekt utan hänsyn till ordningen?

Svaret är uppenbart $\binom{n + 1}{k}$. Men sen är problemet att hitta på ett annat sätt att räkna det på så att du får svaret i HL.

I see.

Du menar att i fallet $\binom{n}{k} + \binom{n}{k - 1}$, först tar man k objekt från n, och efter det ett objekt mindre från den samma antal n?

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\left(\frac{n!}{k!(n-k)!}\right)$ och $\left(\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right)=\left(\frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1\left)\right)!}\right)$

Så jag antar att om vi plussar dem blir det:$\left(\frac{n!}{\left(k\right)!(n-k)!}\right)+\left(\frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1\left)\right)!}\right)$, det måste nog vara samma nämnare och sånt,

$$\begin{gathered} \frac{n! (k-1)! (n-(k-1\left)\right)! + n! \left(k\right)! (n-k)!}{\left(k\right)!(n-k)!(k-1)!(n-(k-1\left)\right)!} \\ \frac{n!(k-1)! (n-k+1))! \mathbf{+}n! (k)! (n-k)!}{\left(k\right)!(n-k)!(k-1)!(n-k+1))!} \end{gathered}$$

... kan man multiplicera fakulteter genom parenteser?

Med det kombinatoriska beviset så menar jag att man räknar det på följande sätt:

Vi börjar med att välja ut ett objekt från de n + 1 objekten, kalla det objekt A. Nu delar vi upp det i två fall.

Objekt A är inte med i vårat val av de k objekten: Detta kan vi göra på $\binom{n}{k}$ olika sätt, eftersom vi har n stycken objekt kvar och ska välja ut k stycken.

Objekt A är med i vårat val av de k objekten: Detta kan vi göra på $\binom{n}{k - 1}$ olika sätt, eftersom vi ska välja ut k - 1 stycken ytterligare objekt från de n stycken objekten.

Så alltså är svaret: $\binom{n}{k} + \binom{n}{k - 1}$

Detta visar då likheten $\binom{n + 1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k - 1}$.

Nämen gud, detta är en helt annat sak än vad jag är van med!

Tack för förklaring!