Bevisa en integral med hjälp av mängder och axiom

Rita området. Använd sedan Riemanssummor för att approximera området.

Välkommen till Pluggakuten!

Punktmängdens area ges av integralen

    $\displaystyle\int_{0}^{h}x^2 \,dx$.

1. Dela in integrationsintervallet $[0,h]$ i ett stort antal ($n$) korta intervall.
2. Över varje kort intervall ska du finna nedre och övre begränsning till integralen över det korta intervallet.
3. Visa att summan av de nedre begränsningarna närmar sig värdet $h^3/3$ när $n \to \infty$.
4. Visa att summan av de övre begränsningarna närmar sig värdet $h^3/3$ när $n \to \infty$.

Albiki skrev:

Välkommen till Pluggakuten!

Punktmängdens area ges av integralen

    $\displaystyle\int_{0}^{h}x^2 \,dx$.

1. Dela in integrationsintervallet $[0,h]$ i ett stort antal ($n$) korta intervall.
2. Över varje kort intervall ska du finna nedre och övre begränsning till integralen över det korta intervallet.
3. Visa att summan av de nedre begränsningarna närmar sig värdet $h^3/3$ när $n \to \infty$.
4. Visa att summan av de övre begränsningarna närmar sig värdet $h^3/3$ när $n \to \infty$. 

Tack för svaret! Jag har en fråga dock. 
Jag tror att jag förstått hur man kan skriva summan av de nedre begränsningarna samt de övre begränsningarna, vilket jag gjort på följande sätt: 

nedre: $\sum _{n=1}^N(h_n{)}^2 *∆h$ $\to h^3$ då $N \to \infty$

övre:  $\sum _{n=1}^N(h_n+∆h{)}^2 * ∆h$ $\to$ $h^3$ då $N \to \infty$

Det jag inte förstår är hur jag får fram kvoten $\frac{1}{3}$ för att visa att summan går mot samma värde ($\frac{h^3}{3}$) som integralen.
Någon idé?

Hur beror dina $h_n$ av $n$? Hur ser $h_n$ ut som funktion av index $n$?

Albiki skrev:

Hur beror dina $h_n$ av $n$? Hur ser $h_n$ ut som funktion av index $n$?

Borde kanske varit tydligare med det. Jag tänker mig att $h_n$ är samma sak som $x_i$, dvs den undre begränsningen för kvadrat nr $n$

Ackweld skrev:

Albiki skrev:

Hur beror dina $h_n$ av $n$? Hur ser $h_n$ ut som funktion av index $n$?

Borde kanske varit tydligare med det. Jag tänker mig att $h_n$ är samma sak som $x_i$, dvs den undre begränsningen för kvadrat nr $n$

 Du besvarar inte min fråga.

Är $h_n$ lika med $1/n$? Eller kanske $h_n=2/n^2$?Eller något annat?