Bevisa en egenskap hos binomialkoefficienterna

Jobbar med kombinatorik just nu och råkade hitta detta faktum.

$\displaystyle \binom{a+b}{b} = \sum_{n=0}^a{\binom{n+b-1}{b-1}}$ för $a\geq 0$, $b \geq 1$ och $a$,$b \in \mathbb{Z}$

Jag har försökt bevisa detta med induktion. Har inte hållt på med särskilt mycket bevis på egen hand förut men jag antar att man måste bevisa att påståendet stämmer både för $a$ och $b$. För $a$ är det relativt lätt:

Basfall: $a=0$, då blir det $\displaystyle  \sum_{n=0}^0{\binom{n+b-1}{b-1}} = \binom{b-1}{b-1} = 1 = \binom{0+b}{b}$

Anta att påståendet gäller för något $c$, $c\geq 0$ och $c \in \mathbb{Z}$
Då har vi $\displaystyle \binom{c+b}{b} = \sum_{n=0}^c{\binom{n+b-1}{b-1}}$

Kolla nu på fallet $c+1$
$\displaystyle \sum_{n=0}^{c+1}{\binom{n+b-1}{b-1}} = \binom{c+b}{b-1}+\sum_{n=0}^{c}{\binom{n+b-1}{b-1}} = \binom{c+b}{b-1} + \binom{c+b}{b} = \binom{c+b+1}{b+1}$ (från pascals formel för det sista)

och därmed är påståendet bevisat för $a$. 

Men sedan om man ska göra det för $b$ går det inte lika bra. 

Basfallet blir $b=1$ vilket blir  $\displaystyle \sum_{n=0}^a{\binom{n}{0}} = \sum_{n=0}^a{1} = a+1 = \binom{a+1}{1}$

Anta att påståendet stämmer för något $c$ så att $c \geq 1$ och $c \in \mathbb{Z}$

Alltså $\displaystyle \binom{a+c}c = \sum_{n=0}^a{\binom{n+c-1}{c-1}}$

Fallet c+1 blir då $\displaystyle \sum_{n=0}^a{\binom{n+c}{c}}$
Här ser jag dock ingen framgång. Man kan få fram induktionsantagandet med hjälp av pascals formel, men då introduceras en ny term som jag inte heller såg någon enkel framgång med. Några ideer? Behöver man bevisa påstående både för $a$ och $b$? Jag tänker att beviset för $a$ kanske medför att det gäller för alla $b$, men är osäker. Har inte lärt mig induktionsbevis i skolan än