Bevisa den geometrisk-harmoniska olikheten

Hej!

Jag behöver hjälp med följande uppgift:

Bevisa den geometrisk-harmoniska olikheten $\mathit{G}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{,}\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{\ge }\mathit{H}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{,}\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{.}$

Jag vet att $G(a,b)=\sqrt{ab}$ och $H(a,b)=\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}.$

Och även att det aritmetiska medelvärdet är $A(a,b)=\frac{a+b}{2}$.

Den geometrisk-aritmetiska olikheten att $A(a,b)\ge G(a,b)$ska användas för beviset.

Jag observerar att $\frac{1}{H(a,b)}=A(\frac{1}{a},\frac{1}{b})$

eftersom $\frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}}} = 1·\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2} = \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2} = A(\frac{1}{a},\frac{1}{b}).$

Hur kommer jag vidare nu?