bevisa delbarheten

Rad 2 HL ska väl vara $2n{(-1)}^n + {(-1)}^n - 1$

Det kan ju vara bra att skriva ut mod4 nånstans också.

Annars fungerar ett induktionsbevis också.

matsC skrev:

Rad 2 HL ska väl vara $2n{(-1)}^n + {(-1)}^n - 1$

Det kan ju vara bra att skriva ut mod4 nånstans också.

Jo, jag är lite slarvig och skriver inte ut (mod 4), ser även felet nu när du påpekar att jag försummat exponenterna. jag antog ju att ${(-1)}^n=-1$ eftersom 1^x=1 men inser ju nu att om n är jämnt blir ju ${(-1)}^n=1$, klantigt..

det skall definitivt stå: 

$2n{(-1)}^n+{(-1)}^n-1$
 Vad är mitt nästa steg nu? Det enda jag kan tänka mig är att göra en ansats där n=2k och n=k och se om det stämmer för udda samt jämna exponenter.

SvanteR skrev:

Annars fungerar ett induktionsbevis också.

Menar du att jag kan skriva följande:

$(2n+1)3^n-1=4k$ och sedan köra på precis som ett vanligt induktionsbevis?

Ja, precis!

(Eller om du ska vara supernoga skriver du:

Antag att det finns ett heltal p sådant att för n=p gäller $\left(2p+1\right)3^p-1=4k$

och sedan kör du på.)

SvanteR skrev:

 

Antag att det finns ett heltal p sådant att för n=p gäller $\left(2p+1\right)3^p-1=4k$

 

$$\begin{gathered} \text{Testar basfall n=0} \\ (0+1)*1-1=0 ->\hspace{0.17em}\mathrm{sant} \mathrm{för} \mathrm{n}=0 \\ \text{Antag det är sant för n=p, då är det också sant för n=p+1} \\ (2\mathrm{p}+3)3^{\mathrm{p}+1}-1=4r . r\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ 2\mathrm{p}*3^{\mathrm{p}+1}+3*3^{\mathrm{p}+1}-1=4\mathrm{r} \\ {3}^{\mathrm{p}+1}(2\mathrm{p}+3)-1=4\mathrm{r} \end{gathered}$$
Där tar det stopp, vet inte hur jag ska manipulera VL för att få faktorer av 4. Jag vet ju att VL är jämnt eftersom Udda(jämn+udda)-1=jämnt, men det säger ju ingenting om att det är delbart med 4.

Hej D. C. ,

Endera av två fall kan uppstå angående partiteten hos heltalet $n$. 

Fall 1. Om $n$ är ett udda tal så blir talet

    $(2(2k+1)+1)\cdot 3^{2k+1} - 1 = (4k+3)\cdot 3^{2k+1}-1=4k\cdot 3^{2k+1} + 3^{2k+2} - 1.$

Är $3^{2k+2}-1$ delbart med 4? Konjugatregeln låter dig skriva

    $(3^{k+1})^2-1^2 = (3^{k+1}-1)(3^{k+1}+1).$

Notera att $3^{k+1}$ är ett udda tal varför både $3^{k+1}-1$ och $3^{k+1}+1$ är jämna tal så $3^{2k+2}-1$ är delbart med 4. Enligt beräkningarna är därför $(2n+1)3^{n}-1$ delbart med 4 då $n$ är ett udda tal.

Hur blir det då $n$ är ett jämnt tal?

Jag ger ditt förslag ett försök Albiki!

$$\begin{gathered} (2n+1)3^n-1=2n*3^n+3^n-1 \\ 2n*3^n+3^n-1 \equiv 2n{(-1)}^n+{(-1)}^n-1 (mod 4) \\ \mathbf{Fall}\mathbf{ }\mathbf{1}. \text{om }\mathbf{\text{n}}\text{ är ett udda tal.} \\ -4k-2-2=-4(k+1) \\ -4(k+1)\equiv 0 \left(mod4\right) \\ \mathbf{Fall}\mathbf{ }\mathbf{2}. \text{om }\mathbf{\text{n}}\text{ är ett jämnt tal.} \\ 4k+1-1=4k\equiv 0 (mod 4) \end{gathered}$$
Se där, det blir rätt nu!

Tack till er alla 3 för hjälpen!