Bevisa delbarhet

Jag sitter och jobbar med boken Algebra och geometri av Vretblad och Ekstig. Har precis löst uppgift 2.8 men funderar på om det finns en elegantare och lite mer kortfattad lösning. Uppgiften är följande:

Visa att $n(n^2-1)$ är delbart med 6 för alla heltal $n$.

Min lösning gick ut på att visa att påståendet stämde i de sex olika fallen av värdet på n. (När n är en multipel av 6, när n är ett mindre än en mutipel av 6, när n är två mindre än en multipel av 6 osv.) Jag stolpade upp mina svar något liknande nedan.

• Om $n\equiv 0_{mod 6}$ så är $6|n$ och därför även hela uttrycket
• Om $n\equiv 5_{mod 6}$ så $6\cancel{|} n \text{men} 6\left|\right(n^2-1) \text{eftersom }6|({(6a-1)}^2-1)=36a^2-12a$
• Om $n\equiv 4_{mod 6}$ så $2|n$ och $3\left|\right(n^2-1) \text{eftersom }3|({(6a-2)}^2-1)=36a^2-24a-3$
• osv

Finns det ett snabbare och mer elegant sätt att lösa uppgiften?