Bevisa att transformationen är linjär

Hej,

Du redovisar inte hur $T(a_1,a_2)$ blir det som du skriver. 

Jag antar att $T$ är en linjär avbildning och ser om detta stämmer överens med givna data.

Man kan skriva vektorn $(0,1)$ som linjärkombinationen $(2,3)-2(1,1)$ och vektorn $(1,0)$ som linjärkombinationen $3(1,1)-(2,3)$ vilket betyder att

    $T(0,1) = T(2,3)-2T(1,1) = (-1,-1,0)$

och

    $T(1,0) = 3T(1,1)-T(2,3) =(2,1,2).$

Avbildningen $T$ är fullständigt specificerad nu när man vet hur den hanterar basvektorerna $(1,0)$ och $(0,1).$

Vektorn $(8,11)$ skrivs som linjärkombinationen $8(1,0)+11(0,1)$ och denna avbildas därför av $T$ på vektorn

    $T(8,11)=8(2,1,2)+11(-1,-1,0) =(5,-3,16).$

Albiki skrev:

Hej,

Du redovisar inte hur $T(a_1,a_2)$ blir det som du skriver. 

Jag antar att $T$ är en linjär avbildning och ser om detta stämmer överens med givna data.

Man kan skriva vektorn $(0,1)$ som linjärkombinationen $(2,3)-2(1,1)$ och vektorn $(1,0)$ som linjärkombinationen $3(1,1)-(2,3)$ vilket betyder att

    $T(0,1) = T(2,3)-2T(1,1) = (-1,-1,0)$

och

    $T(1,0) = 3T(1,1)-T(2,3) =(2,1,2).$

Avbildningen $T$ är fullständigt specificerad nu när man vet hur den hanterar basvektorerna $(1,0)$ och $(0,1).$

Vektorn $(8,11)$ skrivs som linjärkombinationen $8(1,0)+11(0,1)$ och denna avbildas därför av $T$ på vektorn

    $T(8,11)=8(2,1,2)+11(-1,-1,0) =(5,-3,16).$

Stort tack Albiki, ska använda mig utav denna metod härefter istället för att ta fram ett uttryck för T(a₁a₂).

Jag har bara en ytterligare fråga, om jag gör på ditt sätt och ska bevisa att det är en linjär avbildning, hur gör jag då? Eller är det som du skrivit tillräckligt för ett bevis? Jag har nämligen precis påbörjat denna kurs och försöker förstå hur man visar att en transformation är linjär.

Argumentet som du skissar i ursprungsposten fungerar utmärkt!

Men, du behöver förklara hur du kom fram till formeln $T(x_1,x_2)=(2x_1-x_2,x_1-x_2, 2x_1)$ [jag tycker det är bättre att använda $x$ för inputen i funktionen, så att risken minskar att du blandar ihop det med $\alpha$ och $\beta$ sen när du kollar linjäriteten, men det är en smaksak!].

Även om du bara provade dig fram (vilket är helt okej!) så är det bra att skriva ut det i lösningen.

Och Albikis lösning är också bra! Det enda som saknas där - och som du behöver fylla i själv - är varför det följer av Albikis resonemang att det faktiskt existerar en linjär avbildning med de önskade egenskaperna...

lund skrev:

Albiki skrev:

Hej,

Du redovisar inte hur $T(a_1,a_2)$ blir det som du skriver. 

Jag antar att $T$ är en linjär avbildning och ser om detta stämmer överens med givna data.

Man kan skriva vektorn $(0,1)$ som linjärkombinationen $(2,3)-2(1,1)$ och vektorn $(1,0)$ som linjärkombinationen $3(1,1)-(2,3)$ vilket betyder att

    $T(0,1) = T(2,3)-2T(1,1) = (-1,-1,0)$

och

    $T(1,0) = 3T(1,1)-T(2,3) =(2,1,2).$

Avbildningen $T$ är fullständigt specificerad nu när man vet hur den hanterar basvektorerna $(1,0)$ och $(0,1).$

Vektorn $(8,11)$ skrivs som linjärkombinationen $8(1,0)+11(0,1)$ och denna avbildas därför av $T$ på vektorn

    $T(8,11)=8(2,1,2)+11(-1,-1,0) =(5,-3,16).$

Stort tack Albiki, ska använda mig utav denna metod härefter istället för att ta fram ett uttryck för T(a₁a₂).

Jag har bara en ytterligare fråga, om jag gör på ditt sätt och ska bevisa att det är en linjär avbildning, hur gör jag då? Eller är det som du skrivit tillräckligt för ett bevis? Jag har nämligen precis påbörjat denna kurs och försöker förstå hur man visar att en transformation är linjär.

Som jag förstår det blir problemet löst om du kan finna en matris $A$ som representerar avbildningen $T$, det vill säga att vektorn $T(x)$ är samma sak som den vektor som man får vid matrismultiplikationen $Ax$.

För att skapa representationsmatrisen $A$ behöver man veta hur $T$ hanterar basvektorerna $e_1$ och $e_2$ eftersom vektorerna $T(e_1)$ och $T(e_2)$ utgör kolumnerna i matrisen $A$.

Notera att eftersom $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ så måste matrisen A vara av typ $3\times 2.$