Bevisa att talet n^3-n alltid är delbart med 6 och med 24 om n är udda.
Hej!
Så här började jag. Men jag får problem när jag ansätter k=2a 
Induktionsbevis fungerar för att bevisa delbarheten med 6.
Calle_K skrev:Induktionsbevis fungerar för att bevisa delbarheten med 6.
Vi har ej gått igenom induktionsbevis ännu. Går det att ändå lösa uppgiften?
När du hamnat på n(n+1)(n-1) var du redan nästan klar.
Ett av dessa tal är delbart med 3 och minst ett är delbart med 2.
Macilaci skrev:När du hamnat på n(n+1)(n-1) var du redan nästan klar.
Ett av dessa tal är delbart med 3 och minst ett är delbart med 2.
Nu hänger jag ej med. Jag har hamnat ja på n(n+1)(n-1)=k*6 i början. Hur går jag vidare därifrån? Jag förstår ej varför du säger att ett av dessa tal är delbart med 3 och minst ett är delbart är 2. Är det ej meningen man ska fortsätta bevisa
Det finns 2 påståenden att bevisa.
Det första är att n3-n är delbart med 6. Har du bevisat det?
Macilaci skrev:Det finns 2 påståenden att bevisa.
Det första är att n3-n är delbart med 6. Har du bevisat det?
Ja jag visade ju det första halvvägs men är osäker och vet ej hur jag ska gå vidare. Du ser på min bild hur jag började med första påståendet.
Men du skrev n3-n = k*6 utan att förklara varför.
Macilaci skrev:Men du skrev n3-n = k*6 utan att förklara varför.
Ja det är ju det delbarhet säger. Det skrivs på det sättet. Sen delar vi upp så att vi har n(n+1)(n-1)=k*6. "Om a och d är heltal så säger vi att d delar a om det finns ett heltal k sådant att a=k*d." (Definitionen).
Som jag förstår vad vi ska göra i första påståendet är att bevisa att n^3-n är delbart med 6 om n är udda. Alltså ska vi visa då n är jämnt respektive udda eller ? Jag behöver ansätta n=2k samt n=2k+1?
destiny99 skrev:Som jag förstår vad vi ska göra i första påståendet är att bevisa att n^3-n är delbart med 6 om n är udda.
Nej. Vi ska bevisa att n3-n är delbart med 6 för alla n (udda och jämna).
Macilaci skrev:destiny99 skrev:Som jag förstår vad vi ska göra i första påståendet är att bevisa att n^3-n är delbart med 6 om n är udda.
Nej. Vi ska bevisa att n3-n är delbart med 6 för alla n (udda och jämna).
Ok
jag började ansätta n=2k. och då fick jag k(2k+1)(2k-1)=k*3. Antar jag ska ansätta n=3k eftersom 6 är delbart med 3 också
Du får inte anta att n=2k.
(Ett exempel:
n = 4, ett jämnt tal.
n(n+1)(n-1) = 60
Om 60=k*3, så blir k=20.)
Macilaci skrev:Du får inte anta att n=2k.
(Ett exempel:n = 4, ett jämnt tal.
n(n+1)(n-1) = 60
Om 60=k*3, så blir k=20.)
Jag är ej med riktigt sorry.. att k =20 förstår jag. Men ej när du skriver jag får ej anta n=2k. Att n=4 är jämnt tal förstår ja ?
(Varför är det intressant om n är jämnt eller inte?)
Vi ska gå tillbaka till första påsåtåendet, och metoden:
När vi ska bevisa någonting, brukar vi inte skriva det som om det vore redan faktum.
Istället skulle jag skriva:
n3-n = n(n2-1) = n(n+1)(n-1) och argumentera varför detta tal är delbart med 6.
När jag har bevisat delbarheten, får jag skriva:
n(n+1)(n-1) = 6k
Men du behöver inte ens göra det. Det räcker att du bevisade (förklarade) delbarheten.
Macilaci skrev:(Varför är det intressant om n är jämnt eller inte?)
Vi ska gå tillbaka till första påsåtåendet, och metoden:När vi ska bevisa någonting, brukar vi inte skriva det som om det vore redan faktum.
Istället skulle jag skriva:
n3-n = n(n2-1) = n(n+1)(n-1) och argumentera varför detta tal är delbart med 6.
När jag har bevisat delbarheten, får jag skriva:
n(n+1)(n-1) = 6k
Men du behöver inte ens göra det. Det räcker att du bevisade (förklarade) delbarheten.
Jaha okej. Så jag behöver ej göra klart påstående 1 nu? Då är jag klar med den ?
Andra delen: vi ska bevisa att n(n+1)(n-1) är delbart med 24 OM n är ett udda tal.
Varför?
Ett av talen är delbart med 3.
n-1 och n+1 är två på varandra följande jämna tal. Så ett av dem måste vara delbart med 4.
Macilaci skrev:Andra delen: vi ska bevisa att n(n+1)(n-1) är delbart med 24 OM n är ett udda tal.
Varför?
Ett av talen är delbart med 3.
n+1 och n-1 är två på varandra följande jämna tal. Så ett av dem måste vara delbart med 4.
Jag hänger ej med på vad du svarar på. Påstående 1 eller 2?
Ursäkta. Det var beviset för påstående 2.
Macilaci skrev:Ursäkta. Det var beviset för påstående 2.
Okej jag har ej ens funderat över den..
Hur ska jag börja?
Först ska du tänka på tre på varandra följande tal. Vilka som helst. Skriv dem på ett papper.
Vilka tal har du tänkt på?
Macilaci skrev:Först ska du tänka på tre på varandra följande tal. Vilka som helst. Skriv dem på ett papper.
Vilka tal har du tänkt på?
24 är delbart med 2,3 och 4
Du kunde ha tänkt på
18, 19, 20
19, 20, 21
20, 21, 22
21, 22, 23
22, 23, 24
osv.
Det är lätt att inse att ett av dem måste vara delbart med 3.
Macilaci skrev:Du kunde ha tänkt på
18, 19, 20
19, 20, 21
20, 21, 22
21, 22, 23
22, 23, 24
osv.
Det är lätt att inse att ett av dem måste vara delbart med 3.
Hm ja de du markerade ja. Jag tänkte ej på det där sättet med tal.
På liknande sätt är 1 eller 2 av dem delbart med 2:
18, 19, 20
19, 20, 21
20, 21, 22
21, 22, 23
22, 23, 24
Alltid.
Macilaci skrev:På liknande sätt är 1 eller 2 av dem delbart med 2:
18, 19, 20
19, 20, 21
20, 21, 22
21, 22, 23
22, 23, 24
Alltid.
Ja
Och vi vet inte om det är n-1 eller n eller n+1, som är delbart.
Men om vi multiplicerar 3 tal och ett av dem är delbart med 3 och minst ett av dem är delbart med 2, så måste produkten vara delbar med 6.
Macilaci skrev:Och vi vet inte om det är n-1 eller n eller n+1, som är delbart.
Men om vi multiplicerar 3 tal och ett av dem är delbart med 3 och minst ett av dem är delbart med 2, så måste produkten vara delbar med 6.
Okej det funkade ej med 4an eller? Jag skrev ju innan 3 på varandra följande heltal 2,3 och 4. Och du fokuserar nu på 2 och 3. Du nämner även att produkten vara delbar med 6. Var tog delbar med 24an vägen? Låter som att du pratar om påståendet 1 nu.
Vi pratar om första påståendet. 24an har vi inte kommit till.
Macilaci skrev:Vi pratar om första påståendet. 24an har vi inte kommit till.
Det låter som att du bytte väldigt snabbt från påstående 2 till 1. Därav upplever jag tråden väldigt rörig nu och kommer utnyttja handledningen för att titta närmare på den frågan för bättre klarhet och insikt. Tack för hjälpen ändå!
För eventuell framtida läsare kan vi sammanställa svaren såhär.
Påstående 1
Macilaci skrev:
När du hamnat på n(n+1)(n-1) var du redan nästan klar.
Ett av dessa tal är delbart med 3 och minst ett är delbart med 2.
Ett av talen är delbart med 3, kan därmed skrivas 3k1 där k1 är ett godtyckligt heltal.
Minst ett av talen är delbart med 2, kan därmed skrivas 2k2 där k2 är ett godtyckligt heltal.
Låt sista talet vara z. Då är produkten 3k12k2z=6k1k2z vilket är delbart med 6.
Påstående 2
Macilaci skrev:
Andra delen: vi ska bevisa att n(n+1)(n-1) är delbart med 24 OM n är ett udda tal.
Varför?
Ett av talen är delbart med 3.
n-1 och n+1 är två på varandra följande jämna tal. Så ett av dem måste vara delbart med 4.
Ett av talen är delbart med 3, kan därmed skrivas 3k1 där k1 är ett godtyckligt heltal.
De två andra talen är bägge delbara med 2, dessutom är ett av dem delbart med 4. Dessa kan därmed skrivas 2k2 respektive 4k3 där k2 och k3 är godtyckliga heltal.
Då är produkten 3k12k24k3=24k1k2k3 vilket är delbart med 24.
