Bevisa att summan av två distansfunktioner är en distansfunktion

Jag försöker visa att $d(x,y)=d_1(x,y)+d_2(x,y)$ är en distansfunktion om $d_1(x,y)$ och $d_2(x,y)$ är distansfunktioner.

Har lyckats visa att alla kriterier är uppfyllda förutom triangelolikheten. Jag vet inte hur jag visar det smidigast när det är tal om en summa.

Edit: Jag kom på en lösning. Förstår att tanken är att dela med sig, men hinner inte skriva ner olikheterna.