Bevisa att summan av tre tal är 0 (Matematik/Universitet)

En observation är att Triangelolikheten ger

$0\leq |a+b+c| \leq |a+b|+|c| \leq 2|c|,$

men även att $0\leq |a+b+c| \leq 2|a|$ samt $0\leq |a+b+c| \leq 2|b|.$

Därför kan man konstatera att de tre kraven medför att

$0\leq |a+b+c| \leq 2\min(|a|,|b|,|c|).$

Förstår inte hur det ska leda till att a+b+c=0

Står det angivet om det är reella eller komplexa tal det handlar om? Om det bara är reella så är falluppdelning kanske ok (hur många av talen är positiva t.ex.).

Anta att $a\leq0$ och $b\geq0$ . Då ger ett av kraven att

$-|a|\leq b+c\leq |a| \implies a-|a|\leq a+b+c\leq a+|a|$

vilket visar att $a+b+c\leq0.$

Samtidigt ger ett av de andra kraven att

$-|b|\leq c+a\leq |b| \implies b-|b|\leq a+b+c\leq b+|b|$

vilket visar att $0\leq a+b+c$ .

Med andra ord är $a+b+c=0$ .

Om man är obekväm med antagandet att $a\leq 0$ och $b\geq 0$ så kan man istället använda det kombinerade resultatet

$\max(a-|a|,b-|b|,c-|c|) \leq a+b+c \leq \min(a+|a|,b+|b|,c+|c|)$ .

Om något av talen $a$ , $b$ eller $c$ är negativt eller noll så är $\min(...) =0$ och $\max(...) = 0$ , vilket ger det önskade resultatet.
Om samtliga tal $a$ , $b$ och $c$ är strikt positiva så kan summan $a+b+c$ inte vara noll.

Kul uppgift! Jag antar att $a,b,c$ är komplexa tal. Om någon av dem är $0$ så är det lätt. Vi kan också se att multiplicera alla tre talen med ett fjärde (nollskilt) tal bevarar både kraven och om $a+b+c$ är noll eller inte. Så jag multiplicerar med $1/c$ och kan alltså anta att $c$ är $1$ .

$|a+b|\leq 1$ , $|a+1|\leq |b|$ , $|b+1|\leq |a|$ och vi vill visa $a+b+1=0$ . Jag kvadrerar bägger sidorna och tolkar $|x|^2=<x,x>$ med den (bilinjära) formen $<x,y>=x\bar y$ . Detta låter mig utveckla de nu kvadrerade absolutbeloppen. Då får jag bland annat att $|a|^2+2Re a+1\leq |b|^2$ samt |b|^2+2Re b+1\leq |a|^2. Adderar vi dessa olikheter så får vi efter omskrivning $Re(a+b)\leq-1$ . Notera att $1\geq|a+b|\geq|Re (a+b)|\geq1$ . Detta ger att vi får likhet, och då $|a+b|=|Re(a+b)|=1$ så följer att $Im (a+b)=0$ och (via vårt tidigare resultat $Re(a+b)\leq-1$ ) $Re(a+b)=-1$ . Då har vi tillslut att $a+b+1=0$ VSB.

Albiki skrev:
Anta att $a\leq0$ och $b\geq0$ . Då ger ett av kraven att
$-|a|\leq b+c\leq |a| \implies a-|a|\leq a+b+c\leq a+|a|$
vilket visar att $a+b+c\leq0.$
Samtidigt ger ett av de andra kraven att
$-|b|\leq c+a\leq |b| \implies b-|b|\leq a+b+c\leq b+|b|$
vilket visar att $0\leq a+b+c$ .
Med andra ord är $a+b+c=0$ .

Hur kan man anta att a $\leq 0$ när det inte står i uppgiften?

Dualitetsförhållandet skrev:
Albiki skrev:
Anta att $a\leq0$ och $b\geq0$ . Då ger ett av kraven att
$-|a|\leq b+c\leq |a| \implies a-|a|\leq a+b+c\leq a+|a|$
vilket visar att $a+b+c\leq0.$
Samtidigt ger ett av de andra kraven att
$-|b|\leq c+a\leq |b| \implies b-|b|\leq a+b+c\leq b+|b|$
vilket visar att $0\leq a+b+c$ .
Med andra ord är $a+b+c=0$ .
Hur kan man anta att a $\leq 0$ när det inte står i uppgiften?

Av den enkla anledningen att en summa av strikt positiva tal aldrig kan vara noll.

Det lättaste sättet att lösa den här uppgiften fick jag hjälp att hitta på annat håll. Här är den ifall ni är intresserade

$a^{2} \geq {(b + c)}^{2} b^{2} \geq {(a + c)}^{2} c^{2} \geq \geq {(a + b)}^{2} a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq {(a + c)}^{2} + {(a + b)}^{2} + {(a + c)}^{2} a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \geq a^{2} + 2 a c + c^{2} + a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 2 a c + c^{2} 0 \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a c + 2 a b + 2 b c 0 \geq {(a + b + c)}^{2}$

a+b+c=0 annars stämmer inte olikheten (imaginära tal är inte inräknade tror jag).

Dualitetsförhållandet skrev:
Det lättaste sättet att lösa den här uppgiften fick jag hjälp att hitta på annat håll. Här är den ifall ni är intresserade
$a^{2} \geq {(b + c)}^{2} b^{2} \geq {(a + c)}^{2} c^{2} \geq \geq {(a + b)}^{2} a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq {(a + c)}^{2} + {(a + b)}^{2} + {(a + c)}^{2} a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \geq a^{2} + 2 a c + c^{2} + a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 2 a c + c^{2} 0 \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a c + 2 a b + 2 b c 0 \geq {(a + b + c)}^{2}$
a+b+c=0 annars stämmer inte olikheten (imaginära tal är inte inräknade tror jag).

Bra lösning. Det du skrivit innehåller fel (rättat här under i rött).

$a^{2} \geq {(b + c)}^{2} b^{2} \geq {(a + c)}^{2} c^{2} \geq {(a + b)}^{2} a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq {(b + c)}^{2} + {(a + b)}^{2} + {(a + c)}^{2} a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq b^{2} + 2 b c + c^{2} + a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 2 a c + c^{2} 0 \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a c + 2 a b + 2 b c 0 \geq {(a + b + c)}^{2}$