Bevisa att påståendet om gränsvärde är sant, eller ge ett motexempel

Uppgiften är att antingen bevisa påståendet nedan eller ge ett motexempel:

$f (x) \to \infty d å x \to a \Rightarrow \frac{1}{f (x)} \to 0 d å x \to a$ .

Mitt försök:

Intuitivt tror jag att detta gränsvärde borde stämma eftersom en begränsad funktion delat på någonting väldigt stort närmar sig 0.

Förutsättningen att $f (x) \to \infty$ då a går mot 0 betyder enligt definitionen att det till varje stort tal c > 0

finns ett tal s >0 så att så att då $| x - a | < s \Rightarrow f (x) > c .$

Om $\frac{1}{f (x)} \to 0$ då $x \to a$ så finns det till varje tal $ε > 0$ ett $φ > 0$ sådant

att om $| x - a | < φ \Rightarrow |\frac{1}{f (x)}| < ε .$ Och jag tänker att jag nu vill visa att detta stämmer om då förutsättningen ovan är uppfylld. Men har fastnat lite här.

Bra och väldigt systematisk början!

Ska man sammanfatta situationen har vi alltså följande läge:

Det vi vill visa: Att vi kan garantera $|\frac{1}{f(x)}|<\varepsilon$ om $x$ är tillräckligt nära $a$ .

Det vi vet: Att vi kan få $f(x)$ att bli godtyckligt stort om $x$ är tillräckligt nära $a$ .

Tricket kommer nu vara att "bearbeta" de här påståendena lite lite grann, så att de uttrycks i termer av $|f(x)|$ .

Kan du komma på hur?

Ledtråd

Notera att $|\frac{1}{f(x)}|=\frac{1}{|f(x)|}$ .

Notera också att om $f(x)$ stort och positivt, så är även $|f(x)|$ stort.

oggih skrev:
Bra och väldigt systematisk början!
Ska man sammanfatta situationen har vi alltså följande läge:
Det vi vill visa: Att vi kan garantera $|\frac{1}{f(x)}|<\varepsilon$ om $x$ är tillräckligt nära $a$ .
Det vi vet: Att vi kan få $f(x)$ att bli godtyckligt stort om $x$ är tillräckligt nära $a$ .
Tricket kommer nu vara att "bearbeta" de här påståendena lite lite grann, så att de uttrycks i termer av $|f(x)|$ .
Kan du komma på hur?
Ledtråd
Notera att $|\frac{1}{f(x)}|=\frac{1}{|f(x)|}$ .
Notera också att om $f(x)$ stort och positivt, så är även $|f(x)|$ stort.

Hej, tack!

Okej, så vi har

$|\frac{1}{f (x)}| = \frac{1}{|f (x)|} = \frac{1}{f (x)}$ för stor värden på f(x), (det går väl att anta här att f(x) är stort tal större än 0 ?)

och

$\frac{1}{f (x)}$ är litet då $f (x)$ är stort. Speciellt har vi att $\frac{1}{f (x)} < \frac{1}{c}$ tänker jag rätt? Så att jag kan kanske sätta $ε = \frac{1}{c}$ ?

Du är på rätt spår! Jag hade uttryckt det ungefär så här:

Börja med att notera att

$|\frac{1}{f(x)}|<\varepsilon\Longleftrightarrow \frac{1}{|f(x)|}<\varepsilon\Longleftrightarrow |f(x)|>\frac{1}{\varepsilon}\,.$

Alltså kan problemet formuleras om till vi vill kunna garantera att $|f(x)|$ är större än $\frac{1}{\varepsilon}$ , om $x$ väljs tillräckligt nära $a$ .

Och det kan vi ju!

Eftersom vi vet att $\lim_{x\to a} f(x)=\infty$ så vet vi att vi kan få $f(x)$ att bli hur stort som helst genom att närma oss $a$ .

Mer precist så existerar det ett $s>0$ sådant att $f(x)>\frac{1}{\varepsilon}$ om $|x-a|<s$ .

Och detta innebär ju så klart även att $|f(x)|>\frac{1}{\varepsilon}$ om $|x-a|<s$ .

Var detta begripligt? Annars är det bara att säga till så försöker jag eller någon annan här förklara bättre!

Som övning skulle du kunna försöka bevisa liknande påståenden med egna ord, t.ex.

$\lim_{x\to a} f(x)=-\infty\Longrightarrow\lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)}=0$
$\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty\Longrightarrow\lim_{x\to\infty}\frac{1}{f(x)}=0\,.$

oggih skrev:
Du är på rätt spår! Jag hade uttryckt det ungefär så här:
Börja med att notera att
$|\frac{1}{f(x)}|<\varepsilon\Longleftrightarrow \frac{1}{|f(x)|}<\varepsilon\Longleftrightarrow |f(x)|>\frac{1}{\varepsilon}\,.$
Alltså kan problemet formuleras om till vi vill kunna garantera att $|f(x)|$ är större än $\frac{1}{\varepsilon}$ , om $x$ väljs tillräckligt nära $a$ .
Och det kan vi ju!
Eftersom vi vet att $\lim_{x\to a} f(x)=\infty$ så vet vi att vi kan få $f(x)$ att bli hur stort som helst genom att närma oss $a$ .
Mer precist så existerar det ett $s>0$ sådant att $f(x)>\frac{1}{\varepsilon}$ om $|x-a|<s$ .
Och detta innebär ju så klart även att $|f(x)|>\frac{1}{\varepsilon}$ om $|x-a|<s$ .
Var detta begripligt? Annars är det bara att säga till så försöker jag eller någon annan här förklara bättre!
Som övning skulle du kunna försöka bevisa liknande påståenden med egna ord, t.ex.
$\lim_{x\to a} f(x)=-\infty\Longrightarrow\lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)}=0$
$\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty\Longrightarrow\lim_{x\to\infty}\frac{1}{f(x)}=0\,.$

tack vad bra förklarat!

Svara

Visa senaste svar