Bevisa att om det(A) != 0 så måste det betyda att A har invers

Det beror lite på i vilken ordning ni läser, men en vanlig utsaga är att det kvadratiska inhomogena ekvationssystemet

$Ax=b$

har en entydig lösning om och endast om A har full rang. A kan bara ha full rang om $\det(A)\neq 0$ (det får till exempel inte finnas någon rad eller kolonn som bara består av 0:or). 

Nu verkar dock uppgiften vara att du ska anta att $\det(A)$ är nollskild, vilket betyder (är det du ska visa) att ekvationssystemet har den entydiga lösningen

$Ax=b\iff x=A^{-1}b$

Där matrisen $A^{-1}$ bland annat har egenskapen $AA^{-1}=A^{-1}A=E$

Det jag förstår är följande:

Om A har en invers betyder det att A är radekvivalent med identitetsmatrisen. Det innebär i sin tur att om A används som koefficientmatris i ekvationssystemet Ax = b, så kommer systemet att ha en entydig lösning.

Om A däremot inte har en invers, innebär det att ekvationssystemet Ax = b antingen har oändligt många lösningar eller ingen lösning alls, beroende på b. Att A saknar invers betyder att minst en rad i A består av enbart nollor efter radreduktion.

Om vi radreducerar A till dess reducerade trappstegsform och A inte är inverterbar, kommer determinanten av den reducerade matrisen att vara 0. Om A däremot är inverterbar, blir den reducerade trappstegsformen identitetsmatrisen, vars determinant är 1.

Det jag inte fattar:

I den här videon förklarar han beviset genom att tänka baklänges, det vill säga genom att starta från identitetsmatrisen (om A är inverterbar) eller från A i reducerad trappstegsform, där minst en rad består av enbart nollor (om A inte har en invers). Sedan säger han, som om det vore uppenbart, att determinanten alltid kommer att vara noll om vi försöker transformera en matris i reducerad trappstegsform med minst en nollrad (om A inte är inverterbar) tillbaka till A. På samma sätt menar han att determinanten alltid kommer att vara skild från noll om vi startar från identitetsmatrisen och försöker transformera den till A.

Klipp (tid: 3:03): https://www.youtube.com/watch?v=3htsRO7NGVM&t=298s

jag fattar inte det resonemanget alls... 

 Det finns några satser (räknelagar) gällande determinanter som är bra att känna till, bland annat gäller att

• Om alla elementen i en rad eller en kolonn multipliceras med en konstant $c$, så multipliceras determinanten med $c$.
• En determinant ändras ej, om man till elementen i en viss rad eller kolonn i ordning adderar elementen från en annan rad respektive kolonn multiplicerade med en konstant $c$.

Börjar vi med en matris $A$ där $\det(A)=0$ finns det alltså inget sätt att med elementära radoperationer omvandla den till en matris $A^\prime$ med nollskild determinant. Det enda vi kan göra är att skala om den med en faktor $c$.

Andra bra lagar att känna till  är att om du byter plats på två rader eller två kolonner byter determinanten tecken samt att om två rader eller två kolonner är lika är determinanten 0.

Determinanten determinerar (berättar eller bestämmer) om ekvationssystemet Ax=b är entydigt (unikt) lösbart eller ej, dvs om $A$ är inverterbar eller ej.