Bevisa att "ointegrerbar" generaliserad integral divergerar

Har en generaliserad integral $\int_{0}^{π} \frac{1}{\ln (\sin (x))} d x$ som enligt facit divergerar... men hur bevisar jag mattematiskt att denna integral divergerar?

Man ser ju att funktionen är "odefinierad" i ändpunkterna och precis mitt emellan ändpunkterna, dvs $x$ kan inte vara 0, $\frac{π}{2}$ eller $π$ för nämnaren blir då antingen 0 eller $- \infty$ så man ser direkt att denna funktion/integral beter sig lite skumt och man kan gissa att den divergerar, men en gissning räknas ju inte som konkret bevis på att den divergerar (inte ens i närheten) så hur bevisar jag då rent mattematiskt att den divergerar?

Jag ville testa att använda jämförelsekritteriumen men då måste integralen gå mot oändligheten så det funkar inte direkt och denna funktion går inte heller att integrera på normalt sätt... så vad för sorts andra metoder finns det?

Jag gissar på att jag måste dela upp integralen i flera delar eller skriva om funktionen på något sätt.

Hjälp? Tack!

Om man har en integral över ett intervall får man inte ha en diskontinuitet i funktionen mitt i intervallet. Därför måste du dela upp integralen:

$\displaystyle \int_0^{\pi}\frac{1}{\ln(\sin(x))}\ dx=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\ln(\sin(x))}\ dx+\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{1}{\ln(\sin(x))}\ dx$

Vad menar du med att integralen måste gå mot oändligheten för att kunna jämföra med en annan funktion?

Hej!

Integranden är obegränsad på integrationsområdet; det medför att integralen är divergent.

Gör det? $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ då?

AlvinB skrev:

Vad menar du med att integralen måste gå mot oändligheten för att kunna jämföra med en annan funktion?

Enligt mina satser i matteboken så är det ett krav att båda integraler som jämförs måste gå mot oändligheten (om jag förstått rätt i alla fall):

Albiki skrev:
Hej!
Integranden är obegränsad på integrationsområdet; det medför att integralen är divergent.

Aha... är det verkligen så enkelt? Haha toppen :)

Ja, jag undrar om det verkligen stämmer. Ett annat exempel är integralen

$\displaystyle \int_{-1}^1$ $-\ln|x|\ dx$

vilken är konvergent och lika med $2$ , trots att integranden går mot oändligheten när $x=0$ .

Laguna skrev:
Gör det? $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ då?

Gör vad? Tror du att integralen i själva verket konvergerar eller vad är det du försöker säga? Din kommentar är väldigt vag :)

AlvinB skrev:
Ja, jag undrar om det verkligen stämmer. Ett annat exempel är integralen
$\displaystyle \int_{-1}^1$ $-\ln|x|\ dx$
vilken är konvergent och lika med $2$ , trots att integranden går mot oändligheten när $x=0$ .

Nej... tror vi har missuppfattat varandra. Jag menar att min mattebok säger att den ÖVRE GRÄNSEN av integralen måste vara oändligheten för att Jämförelsekritteriumet/satsen ska gälla.

EDIT: Kolla på min tidigare kommentar med satserna.

Nide skrev:
AlvinB skrev:
Ja, jag undrar om det verkligen stämmer. Ett annat exempel är integralen
$\displaystyle \int_{-1}^1$ $-\ln|x|\ dx$
vilken är konvergent och lika med $2$ , trots att integranden går mot oändligheten när $x=0$ .
Nej... tror vi har missuppfattat varandra. Jag menar att min mattebok säger att den ÖVRE GRÄNSEN av integralen måste vara oändligheten för att Jämförelsekritteriumet/satsen ska gälla.
EDIT: Kolla på min tidigare kommentar med satserna.

Mitt och Lagunas inlägg var rörande Albikis princip för att avgöra att integralen är konvergent. Det jag skrev är nämligen ett exempel på en integral där integranden är obegränsad på integrationsområdet (går mot $\infty$ när $x\to0$ ), men som ändå är konvergent.

Men för att svara på din fråga: Din mattebok tar bara upp fallet där man jämför med en integral där den ena gränsen går mot oändligheten, men det är faktiskt så att det går att jämföra integralers konvergens även om de inte har oändligheten som integrationsgräns.

I det här fallet kan vi exempelvis jämföra $[0,\frac{\pi}{2}]$ -integralen med integralen

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1-\frac{1}{(x-\frac{\pi}{2})^2} dx$

Anledningen till att vi kan göra detta är att området som utgörs av vår integral (gröna kurvan) är större än integralen vi jämför med (blå kurvan). Alltså kan vi konstatera att om den blå kurvans integral divergerar måste vår integral vara större än den och därmed också divergera.

AlvinB skrev:
Nide skrev:
AlvinB skrev:
Ja, jag undrar om det verkligen stämmer. Ett annat exempel är integralen
$\displaystyle \int_{-1}^1$ $-\ln|x|\ dx$
vilken är konvergent och lika med $2$ , trots att integranden går mot oändligheten när $x=0$ .
Nej... tror vi har missuppfattat varandra. Jag menar att min mattebok säger att den ÖVRE GRÄNSEN av integralen måste vara oändligheten för att Jämförelsekritteriumet/satsen ska gälla.
EDIT: Kolla på min tidigare kommentar med satserna.
Mitt och Lagunas inlägg var rörande Albikis princip för att avgöra att integralen är konvergent. Det jag skrev är nämligen ett exempel på en integral som är obegränsad på integrationsområdet (går mot $\infty$ när $x\to0$ ), men som ändå är konvergent.
Men för att svara på din fråga: Din mattebok tar bara upp fallet där man jämför med en integral där den ena gränsen går mot oändligheten, men det är faktiskt så att det går att jämföra integralers konvergens även om de inte har oändligheten som integrationsgräns.
I det här fallet kan vi exempelvis jämföra $[0,\frac{\pi}{2}]$ -integralen med integralen
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} -\frac{2}{(x-\frac{\pi}{2})^2} dx$

Aha. Det visste jag inte. Det var väldigt användbart.

Tack!

Jag skrev lite fel på integralen man jämför med, men jag har redigerat mitt inlägg och rättat till det nu samt lagt till en liten förklarande bild.

Nide skrev:
Laguna skrev:
Gör det? $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ då?
Gör vad? Tror du att integralen i själva verket konvergerar eller vad är det du försöker säga? Din kommentar är väldigt vag :)

Min kommentar gällde det som stod precis innan, vad annars. Den var inte det minsta vag. Räkna ut integralen själv och påstå något annat om du vill.

Laguna skrev:
Nide skrev:
Laguna skrev:
Gör det? $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ då?
Gör vad? Tror du att integralen i själva verket konvergerar eller vad är det du försöker säga? Din kommentar är väldigt vag :)
Min kommentar gällde det som stod precis innan, vad annars. Den var inte det minsta vag. Räkna ut integralen själv och påstå något annat om du vill.

Man kan inte lita på att det inte dyker upp ett inlägg mellan det man svarar på och ens eget inlägg. Den här gången var det inte så, men det kan man nte veta i förväg. Det kan vara klokt att citera det inlägg man svarar på (fast helst inte hela inlägget, om det är jättelångt - inte aktuellt den här gången).

Smaragdalena skrev:
Laguna skrev:
Nide skrev:
Laguna skrev:
Gör det? $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ då?
Gör vad? Tror du att integralen i själva verket konvergerar eller vad är det du försöker säga? Din kommentar är väldigt vag :)
Min kommentar gällde det som stod precis innan, vad annars. Den var inte det minsta vag. Räkna ut integralen själv och påstå något annat om du vill.
Man kan inte lita på att det inte dyker upp ett inlägg mellan det man svarar på och ens eget inlägg. Den här gången var det inte så, men det kan man nte veta i förväg. Det kan vara klokt att citera det inlägg man svarar på (fast helst inte hela inlägget, om det är jättelångt - inte aktuellt den här gången).

Det har du rätt i.

Svara

Visa senaste svar