Bevisa att n³-n är delbart med 3

Jag kom vidare med att säga att ett tal är delbart med 3 om summan av talets siffersummor är delbart med 3

Det ska nog räcka med att faktorisera uttrycket, vad får du då?

tindra03 skrev:

Jag kom vidare med att säga att ett tal är delbart med 3 om summan av talets siffersummor är delbart med 3

Hur kom du vidare med det? Ser inget uppenbart.

Jag vet inte.. Det finns ju tre fall på n. Antingen är n delbart med 3, n+1 delbart med 3 eller n-1 delbart med 3.

Jag får n(n^2-1) om jag faktoriserar

tindra03 skrev:

Jag får n(n^2-1) om jag faktoriserar

Det går att faktorisera lite till...

tindra03 skrev:

Jag vet inte.. Det finns ju tre fall på n. Antingen är n delbart med 3, n+1 delbart med 3 eller n-1 delbart med 3.

Jo det är ju sant, men vad har det med siffersumman att göra? (jag kanske missar något uppenbart)

tindra03 skrev:

Jag vet inte.. Det finns ju tre fall på n. Antingen är n delbart med 3, n+1 delbart med 3 eller n-1 delbart med 3.

Detta är rätt väg! Om n-1 är delbart med 3 så kan man skriva att n-1 = 3m, där m är ett heltal. Då blir n = 3m+1. Vad får du om du stoppar in det i ditt ursprungliga uttryck?

Hej!

För att du ska bevisa det så måste du göra det i två steg

Steg 1 : Att bevisa att påståendet stämmer när n=0

$0^3-0=0$ och 0 är delbart med 3

Steg 2 :

Vi ska bevisa följande "Om påståendet stämmer för k stämmer påståendet för k+1"

Det betyder att man ska bevisa att påståendet stämmer när n =k+1 om påståendet stämmer när n =k

Det betyder att vi ska bevisa att ${(k+1)}^3 - (k+1)$är delbart med 3 om $k^3$-k är delbart med 3

$$\begin{gathered} {(k+1)}^3-(k+1) =k^3+3k^2+3k +1-k-1 =k^3-k +3k^2+3k \\ Vi vet att k^3-k är delbart med 3, vilket gör att k^3-k=3m \\ {(k+1)}^3-(k+1) =3m +3k^2+3k =3(m+k^2+k) \\ Detta betyder att {(k+1)}^3-(k+1) är delbart med 3 för att vi skrev det som 3 gånger någonting \end{gathered}$$

Vi har bevisat Steg 1 och Steg 2, vilket betyder att påståendet stämmer.

Oobs: Jag vet inte vad den här metoden heter på svenska

Mvh

Jag skulle tveka på att använda 0 i steg 1 när det står i uppgiften att talet skall vara >0
Men det går ju bra att använda t.ex 2 istället.

Alternativ lösning:
$n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$
Vi har alltså 3 på varandra förjande tal. För dessa gäller att minst ett av dem är delbart med 3 (eftersom vart tredje heltal är delbart med 3).
Alltså kommer n(n-1)(n+1) också vara delbart med 3

joculator skrev:

Jag skulle tveka på att använda 0 i steg 1 när det står i uppgiften att talet skall vara >0
Men det går ju bra att använda t.ex 2 istället.

Alternativ lösning:
$n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$
Vi har alltså 3 på varandra förjande tal. För dessa gäller att minst ett av dem är delbart med 3 (eftersom vart tredje heltal är delbart med 3).
Alltså kommer n(n-1)(n+1) också vara delbart med 3

Det står i uppgiften $\ge 0$ då måste man börja med n=0

Slarv av mig. Jag läste >0

Edit: Man måste inte börja med 0 men man kan.

Mohammad Abdalla skrev:

Oobs: Jag vet inte vad den här metoden heter på svenska

Metoden är induktion. Men det lärs inte ut förrän i matematik 5 så det är tyvärr ingen lämplig metod i matematik 4.

joculator skrev:

Slarv av mig. Jag läste >0

Edit: Man måste inte börja med 0 men man kan.

Hej!

Om man börjar med n=3 så måste man bevisa att påståendet stämmer när n=0 och n=1 och n=2.

Börjar man med n=0 så behöver man inte bevisa för något annat tal.

Mvh

Det två lösningarna jag ser framför mig är faktorisering eller induktion. Både finns i tråden så välj den du föredrar.

Tack så supermycket allihop för många fina svar! Jag löste uppgiften nu!