Bevisa att n^2-1 är delbart med 8 för alla udda heltal n
Hej!
Jag vet att delbarhet kan skrivas som a=k*b. Jag började med att ansätta n=2m+1 då n ska vara udda. Men sen får jag (2m+2)*2m när jag satte in det i (n+1)*(n-1)=k*8. Så jag får 4m(m+1). Hur går jag vidare ?
Nu räcker det att visa att m(m+1) är delbart med 2 för alla heltal m. Kan det vara så?
Laguna skrev:Nu räcker det att visa att m(m+1) är delbart med 2 för alla heltal m. Kan det vara så?
Vad menar du? Asså om man delar med 4 på båda leden så får man m(m+1)=k*2. Så beviset är väl ej klart då? Men uppgiften syftade på att visa för 8 och ej 2
kan skrivas som
Eftersom n är ett udda tal, så är (n+1) och (n-1) jämna tal.
Påståendet i 5.9 säger att om man multiplicerar två på varandra följande jämna tal, så är resultatet delbart med 8.
Varje jämt tal är delbart med 2. Och vartannat jämt tal är delbart med 4:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
"Ett tal delbart med 4" multiplicerat med "ett tal delbart med 2", ger en produkt som är delbar med 8.
Det går säkert att formulera mer matematiskt korrekt, men detta är ett steg på vägen.
destiny99 skrev:Laguna skrev:Nu räcker det att visa att m(m+1) är delbart med 2 för alla heltal m. Kan det vara så?
Vad menar du? Asså om man delar med 4 på båda leden så får man m(m+1)=k*2. Så beviset är väl ej klart då? Men uppgiften syftade på att visa för 8 och ej 2
Om du lyckas bevisa att 4m(m+1) är delbart på åtta är uppgiften löst. För att 4m(m+1) skall vara delbart med åtta vill det till att 4m(m+1) kan uttryckas som k*8, där k är ett heltal.
Skall så vara fallet måste m(m+1) vara delbart med 2. Kan du säga något om om så är fallet? Pröva några värden på m; blir m(m+1) delbart med 2 i några av fallen?
Bedinsis skrev:destiny99 skrev:Laguna skrev:Nu räcker det att visa att m(m+1) är delbart med 2 för alla heltal m. Kan det vara så?
Vad menar du? Asså om man delar med 4 på båda leden så får man m(m+1)=k*2. Så beviset är väl ej klart då? Men uppgiften syftade på att visa för 8 och ej 2
Om du lyckas bevisa att 4m(m+1) är delbart på åtta är uppgiften löst. För att 4m(m+1) skall vara delbart med åtta vill det till att 4m(m+1) kan uttryckas som k*8, där k är ett heltal.
Skall så vara fallet måste m(m+1) vara delbart med 2. Kan du säga något om om så är fallet? Pröva några värden på m; blir m(m+1) delbart med 2 i några av fallen?
Ja jag provade m=1,m=2 osv och då får jag att det är delbart med 2. Men jag vet ej om det enbart räcker så eller om man behöver visa för alla jämna m samt alla udda m som ska vara delbart med 2?
Fortsätt som du började. Anta att m = 2p.
Anta sen att m = 2p+1.
Laguna skrev:Fortsätt som du började. Anta att m = 2p.
Anta sen att m = 2p+1.
Ok
