Bevisa att f är kontinuerlig på och f'(x)<0 så är f strängt växande (Matematik/Universitet)

I din definition antar jag du menar avtagande.

Och i början av ditt bevis skriver du att x kan vara lika med y, stämmer det verkligen för strängt avtagande?

Efter de justeringarna kan du använda antaganden med derivatans definition och visa påståendet.

Varför antar du att f inte är kontinuerlig? Påståendet säger något om derivatans värde, så derivatan förutsätts existera, vilket i sin tur innebär att f faktiskt är kontinuerlig.

Motsägelsebevis passar inte särskilt bra för att bevisa detta påstående. Direktbevis m.h.a. medelvärdessatsen funkar nog bättre.

Vill du ändå bevisa påståendet via motsägelsebevis, så får du göra ett annat antagande:

Anta att det finns en funktion f som är kontinuerlig på [a,b] och som uppfyller f'(x) < 0 på (a,b), men ändå är f inte strängt avtagande på [a,b]. D.v.s. det finns punkter s och t i intervallet [a,b] så att s < t och f(s) < f(t).

Sedan kan man m.h.a. medelvärdessatsen visa att detta strider mot att derivatan är negativ på (a,b).

MrPotatohead skrev:
I din definition antar jag du menar avtagande.

Och i början av ditt bevis skriver du att x kan vara lika med y, stämmer det verkligen för strängt avtagande?

Efter de justeringarna kan du använda antaganden med derivatans definition och visa påståendet.

Vad ska man med derivatans definition till?

LuMa07 skrev:
Varför antar du att f inte är kontinuerlig? Påståendet säger något om derivatans värde, så derivatan förutsätts existera, vilket i sin tur innebär att f faktiskt är kontinuerlig.

Motsägelsebevis passar inte särskilt bra för att bevisa detta påstående. Direktbevis m.h.a. medelvärdessatsen funkar nog bättre.

Vill du ändå bevisa påståendet via motsägelsebevis, så får du göra ett annat antagande:

Anta att det finns en funktion f som är kontinuerlig på [a,b] och som uppfyller f'(x) < 0 på (a,b), men ändå är f inte strängt avtagande på [a,b]. D.v.s. det finns punkter s och t i intervallet [a,b] så att s < t och f(s) < f(t).

Sedan kan man m.h.a. medelvärdessatsen visa att detta strider mot att derivatan är negativ på (a,b).

Ja asså gpt säger man ska använda medelvärdesatsen pga att de i början säger att f är kont på [a,b] och f'(x)<0 vilket jag inte listade ut.

destiny99 skrev:
MrPotatohead skrev:
I din definition antar jag du menar avtagande.

Och i början av ditt bevis skriver du att x kan vara lika med y, stämmer det verkligen för strängt avtagande?

Efter de justeringarna kan du använda antaganden med derivatans definition och visa påståendet.

Vad ska man med derivatans definition till?

Om du ska visa att derivatan blir negativ i hela intervallet (a,b) är väl den rimlig att använda.

MrPotatohead skrev:
destiny99 skrev:
MrPotatohead skrev:
I din definition antar jag du menar avtagande.

Och i början av ditt bevis skriver du att x kan vara lika med y, stämmer det verkligen för strängt avtagande?

Efter de justeringarna kan du använda antaganden med derivatans definition och visa påståendet.

Vad ska man med derivatans definition till?

Om du ska visa att derivatan blir negativ i hela intervallet (a,b) är väl den rimlig att använda.

Hm okej men uppställningen har jag problem med då jag inte vet hur jag ska få rätt till här. Hut blir det med h=>0 ?

Så långt kom jag!

Nu är jag konfunderad. Vilken del av uppgiften arbetar du med?

(a) Visa att alla funktioner som är kontinuerliga på [a,b] och som har en negativ derivata på (a,b) är strängt avtagande.

(b) Stämmer det att om f är strängt avtagande och kontinuerlig på [a,b], så måste derivatan vara negativ på (a,b)

LuMa07 skrev:
Nu är jag konfunderad. Vilken del av uppgiften arbetar du med?

(a) Visa att alla funktioner som är kontinuerliga på [a,b] och som har en negativ derivata på (a,b) är strängt avtagande.

(b) Stämmer det att om f är strängt avtagande och kontinuerlig på [a,b], så måste derivatan vara negativ på (a,b)

a) mha derivatans definition.

Detta känns som en extremt trivial grej... Så trivial att den nästan blir svår att visa. Det påminner mig om den här memen:

Proof by f*cking obvuiousness! : r/mathmemes

Hur som helst borde du kunna använda medelvärdessatsen. Låt $x_1,x_2\in[a,b]$ , där $x_1<x_2$ . Eftersom $f$ är kontinuerlig på $[a,b]$ samt deriverbar på $(a,b)$ finns det enligt medelvärdessatsen ett $c\in(x_1,x_2)$ sådant att:

$\displaystyle f'\left(c\right) = \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$

Eftersom vi vet att $f'\left(x\right)<0$ för alla $x$ , så ser vi att $f'\left(c\right)<0$ . Detta måste innebära att $\displaystyle f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)$ . Detta innebär att för alla $x_1,x_2\in[a,b]$ , där $x_1<x_2$ , så kommer $\displaystyle f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)$ .

$\blacksquare$

naytte skrev:
Detta känns som en extremt trivial grej... Så trivial att den nästan blir svår att visa. Det påminner mig om den här memen:

Hur som helst borde du kunna använda medelvärdessatsen. Låt $x_1,x_2\in[a,b]$ , där $x_1<x_2$ . Eftersom $f$ är kontinuerlig på $[a,b]$ samt deriverbar på $(a,b)$ finns det enligt medelvärdessatsen ett $c\in(x_1,x_2)$ sådant att:

$\displaystyle f'\left(c\right) = \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$

Eftersom vi vet att $f\left(x\right)<0$ för alla $x$ , så ser vi att $f'\left(c\right)<0$ . Detta måste innebära att $\displaystyle f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)$ . Detta innebär att för alla $x_1,x_2\in[a,b]$ , där $x_1<x_2$ , så kommer $\displaystyle f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)$ .

$\blacksquare$

Nu gick du väl inte rätt håll i ditt bevis. Vi ska sluta i f’(x)<0 för alla x.

Sedan undrar jag hur du fick att f(x)<0 för alla x?

Var det inte på (a)-uppgiften vi var? Då får vi ju anta derivatan är negativ och vi ska hamna i änden att funktionen är strängt avtagande.

naytte skrev:
Var det inte på (a)-uppgiften vi var? Då får vi ju anta derivatan är negativ och vi ska hamna i änden att funktionen är strängt avtagande.

Okej, missade "bevisa" i första meningen och trodde det bara var andra frågan som gällde... 🫣

Tillägg: 16 okt 2024 07:27

Att f(x) är negativ förstår jag ändå inte.

naytte skrev:
Detta känns som en extremt trivial grej... Så trivial att den nästan blir svår att visa. Det påminner mig om den här memen:

Hur som helst borde du kunna använda medelvärdessatsen. Låt $x_1,x_2\in[a,b]$ , där $x_1<x_2$ . Eftersom $f$ är kontinuerlig på $[a,b]$ samt deriverbar på $(a,b)$ finns det enligt medelvärdessatsen ett $c\in(x_1,x_2)$ sådant att:

$\displaystyle f'\left(c\right) = \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$

Eftersom vi vet att $f\left(x\right)<0$ för alla $x$ , så ser vi att $f'\left(c\right)<0$ . Detta måste innebära att $\displaystyle f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)$ . Detta innebär att för alla $x_1,x_2\in[a,b]$ , där $x_1<x_2$ , så kommer $\displaystyle f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)$ .

$\blacksquare$

Tack! Så gjorde facit o GPT också.

MrPotatohead skrev:
naytte skrev:
Var det inte på (a)-uppgiften vi var? Då får vi ju anta derivatan är negativ och vi ska hamna i änden att funktionen är strängt avtagande.

Okej, missade "bevisa" i första meningen och trodde det bara var andra frågan som gällde... 🫣

Tillägg: 16 okt 2024 07:27

Att f(x) är negativ förstår jag ändå inte.

Jaha, nu tror jag jag förstår. Det är jag som har skrivit fel! Det ska stå $f'\left(x\right) < 0$ . Det fixar jag genast!

Kan du köpa det nu när jag har uppdaterat det? :)

Japp:)