Bevisa att en talföljd konvergerar mot 1/2

Jag tänker att man kanske ska få n ensamt på något vis och sedan sätta det som står på andra sidan av olikhetstecknet som N och sen dra en slutsats, men kanske är helt ute och cyklar..

Nä ungefär så ska du väl göra.

Dels kan du utnyttja att n är positivt för att fimpa absolutbeloppet.

Sen har du

$\frac{n-1}{2n(n^2+1)}<\frac{n}{2n(n^2+1)}=\frac{1}{2(n^2+1)}$

så om du kan visa att HL är mindre än epsilon för tillräckligt stora n så är även VL det.

Sen ytterligare någon förenkling av det slaget så bör du vara i mål.

Smutsmunnen skrev:

$\frac{n-1}{2n(n^2+1)}<\frac{n}{2n(n^2+1)}=\frac{1}{2(n^2+1)}$

Hmm, förstår inte riktigt. Att man kan ta bort absolutbeloppet förstod jag men varför gör man följande steg, alltså sätter $\frac{n-1}{2n(n^2+1)}<\frac{n}{2n(n^2+1)}$

Ja det är två saker då.

Det ena är det du själv skrev, alltså att det gäller få n ensamt på ena sidan. Det där är ett steg mot det, vi får ett enklare uttryck. Behövs bara en operation av samma slag för att nå fram sen.

Det andra är att i slutändan så behöver vi inte ekvivalens, vi behöver inte 

$n>N \iff |a_n-\frac{1}{2}|<\epsilon$

det räcker med

$n>N \Rightarrow |a_n-\frac{1}{2}|<\epsilon$

så vi kan göra sådana här förenklingar, det är inte nödvändigt med en hel kedja av ekvivalenser.

Smutsmunnen skrev:

Ja det är två saker då.

Det ena är det du själv skrev, alltså att det gäller få n ensamt på ena sidan. Det där är ett steg mot det, vi får ett enklare uttryck. Behövs bara en operation av samma slag för att nå fram sen.

Det andra är att i slutändan så behöver vi inte ekvivalens, vi behöver inte 

$n>N \iff |a_n-\frac{1}{2}|<\epsilon$

det räcker med

$n>N \Rightarrow |a_n-\frac{1}{2}|<\epsilon$

så vi kan göra sådana här förenklingar, det är inte nödvändigt med en hel kedja av ekvivalenser.

Hur vet man att $\frac{n}{2n(n^2+1)}$ är mindre än epsilon? 

Luffy skrev:

Smutsmunnen skrev:

Ja det är två saker då.

Det ena är det du själv skrev, alltså att det gäller få n ensamt på ena sidan. Det där är ett steg mot det, vi får ett enklare uttryck. Behövs bara en operation av samma slag för att nå fram sen.

Det andra är att i slutändan så behöver vi inte ekvivalens, vi behöver inte 

$n>N \iff |a_n-\frac{1}{2}|<\epsilon$

det räcker med

$n>N \Rightarrow |a_n-\frac{1}{2}|<\epsilon$

så vi kan göra sådana här förenklingar, det är inte nödvändigt med en hel kedja av ekvivalenser.

Hur vet man att $\frac{n}{2n(n^2+1)}$ är mindre än epsilon? 

Det vet man inte, det är det man ska visa.

Alltså du vill visa att för tillräckligt stora n så är

$\frac{n-1}{2n(n^2+1)}<\epsilon$

Men eftersom 

$\frac{n-1}{2n(n^2+1)}<\frac{n}{2n(n^2+1)}$

så är det tillräckligt att visa att

$\frac{n}{2n(n^2+1)}<\epsilon$

för tillräckligt stora n. Och det är lättare att visa än den ursprungliga olikheten.

Smutsmunnen skrev:

så är det tillräckligt att visa att

$\frac{n}{2n(n^2+1)}<\epsilon$

Så om jag förstått rätt så kan man ändra uttrycket hur man vill så länge det nya uttrycket är större än det tidigare, för att göra beviset enklare?

Ja alltså så länge det nya uttrycket går mot 0 när n går mot oändligheten.

Jag menar på ett sätt skulle vi kunna stanna vid:

$\frac{n-1}{2n(n^2+1)}<\epsilon$

och säga "VL går mot 0 när n går mot oändligheten så för tillräckligt stora n gäller olikheten QED".

Men om vi faktiskt vill hitta ett N som ger 

$n>N \Rightarrow |a_n-\frac{1}{2}|<\epsilon$

så kan man fortsätta som jag gjort.

Jag kan visa hur man då kan fortsätta och sedan hela logiska kedjan baklänges.

Så  nu har vi att vi ska visa

$\frac{n}{2n(n^2+1)}=\frac{1}{2(n^2+1)}<\epsilon$

för tillräckligt stora n.

Men nu har vi:

$\frac{1}{2(n^2+1)}<\frac{1}{2n^2}$

så det räcker med att visa att

$\frac{1}{2n^2}<\epsilon$

för tillräckligt stora n. Nu har vi tillräckligt enkelt uttryck, vi har n ensamt så att säga och kan omformulera:

$\frac{1}{2n^2}<\epsilon \iff \frac{1}{\sqrt{2\epsilon }}<n$

Så vi kan välja $N=\frac{1}{\sqrt{2\epsilon }}$

och får då

$$\begin{gathered} n>N =\frac{1}{\sqrt{2\epsilon }}\iff \epsilon >\frac{1}{2n^2}>\frac{1}{2(n^2+1)}=\frac{n}{2n(n^2+1)}>\frac{n-1}{2n(n^2+1)}= \\ =\left|\frac{n-1}{2n(n^2+1)}\right|=|a_n-\frac{1}{2}| \end{gathered}$$

Så

$n>N \Rightarrow \epsilon >|a_n-\frac{1}{2}|$

så $a_n\to \frac{1}{2}$ när $n\to \infty .$