Bevisa att en funktion är begränsad då x->oändligheten

Hej jag har en uppgift som lyder: "Visa att om $\lim_{x \to \infty} f (x)$ finns, så är f begränsad för stora x, dvs det finns ω sådant att f är begränsad för x > ω".

Men hur kan detta vara sant? T.ex. om f(x)=x^2 och x-> $\infty$ så kommer f(x)-> $\infty$ eftersom att f(x) bara fortsätter bli större då x blir större och f(x) konvergerar då inte mot något gränsvärde A. Har jag missuppfattat någonting? Vad är det jag har missat och hur visar jag att detta är sant?

Men då finns gränsvärdet inte. Det finns inget tal som utgör gränsvärdet. Symbolen $\infty$ betyder just att gränsvärdet inte finns (men symbolen är inte helt tom på information, för man skiljer på $\infty$ och $- \infty$ ).

Av just denna anledning kallas $\infty$ för ett oegentligt gränsvärde. Det är egentligen inte ett gränsvärde, men som Laguna säger ger det ändå viss information om hur funktionen beter sig.

Laguna skrev:
Men då finns gränsvärdet inte. Det finns inget tal som utgör gränsvärdet. Symbolen $\infty$ betyder just att gränsvärdet inte finns (men symbolen är inte helt tom på information, för man skiljer på $\infty$ och $- \infty$ ).

Aha... av någon anledning trodde jag alltid att $\infty$ också, tekniskt sett, räknades som ett gränsvärde men tydligen inte. Whoops! :). Men hur bevisar jag dock detta rent matematiskt? Jag vet att det finns en definition som säger: "För varje $ε > 0$ finns ett tal $ω$ så att $x > ω \Rightarrow |f (x) - A| < ε$ och om dessa krav är uppfyllda så är $\lim_{x \to \infty} f (x) = A$ ".

Men jag vet inte om detta räknas som ett bevis.

Sätt helt enkelt in epsilon=1 (t.ex). Då är ju f(x) begränsad för alla $x > ω$ eftersom f(x) tillhör intervallet $(A - 1, A + 1)$

Svara

Visa senaste svar