Bevisa att det A⁻¹ = 1/det A

Vi börjar med a). Eftersom $AA^{-1}=I$ är

$\det(AA^{-1})=\det(I)$

$\det(A)\cdot\det(A^{-1})=1$

Hjälper detta?

AlvinB skrev:

Vi börjar med a). Eftersom $AA^{-1}=I$ är

$\det(AA^{-1})=\det(I)$

$\det(A)\cdot\det(A^{-1})=1$

Hjälper detta?

Jovist, om det (AA^-1) = det (A) · det (A^-1), annars vet jag inte.

William2001 skrev:

AlvinB skrev:

Vi börjar med a). Eftersom $AA^{-1}=I$ är

$\det(AA^{-1})=\det(I)$

$\det(A)\cdot\det(A^{-1})=1$

Hjälper detta?

Jovist, om det (AA^-1) = det (A) · det (A^-1), annars vet jag inte.

Att determinanten är multiplikativ är en ganska vanlig sats. Kolla i din bok efter det.

Typiskt jag får nog ändå inte till det, om man inte kan använda sig av att: 1=1 är tautologi, för

då kan man skriva: 

det A^-1 = 1/det A

det A · det A^-1 = det A /det A

det I = det A/det A

1=1

William2001 skrev:

 

Typiskt jag får nog ändå inte till det, om man inte kan använda sig av att: 1=1 är tautologi, för

då kan man skriva: 

det A^-1 = 1/det A

det A · det A^-1 = det A /det A

det I = det A/det A

1=1

Titta på tidigare svaret. Om du dividerar med det A på båda sidor i sista raden, då får du ut ditt svar va?

Att det AB = det A det B gäller i allmänhet får nog ses som ett känt faktum i det här beviset

William2001 skrev:

 

Typiskt jag får nog ändå inte till det, om man inte kan använda sig av att: 1=1 är tautologi, för

då kan man skriva: 

det A^-1 = 1/det A

det A · det A^-1 = det A /det A

det I = det A/det A

1=1

Hej,

Nej, nej! Du ska inte dividera med determinanten $\det A.$ 

Från det faktum att $A \cdot A^{-1} = E$, där $E$ betecknar enhetsmatrisen, får du

    $\det A \cdot \det A^{-1} = \det E = 1$

vilket direkt ger resultatet du söker.

Här behöver du känna till räkneregeln

    $\det (A\cdot B) = \det A \cdot \det B$,

som gäller så snart determinanterna är definierade. 

Tack Albiki.