Bevisa att a är rationellt om och endast om a / (a + 1) är ett rationellt tal

Hej N. C., 

Eftersom täljare och nämnare är väldigt lika så kan du utnyttja detta med en omskrivning av kvoten.

    $\frac{a}{a+1} = \frac{(a+1)-1}{a+1} = \frac{a+1}{a+1} - \frac{1}{a+1} = 1-\frac{1}{a+1}.$

Nu räcker det att visa att $\frac{1}{a+1}$ är ett rationellt tal om $a$ är ett rationellt tal, eftersom $1$ är ett rationellt tal och differensen av två rationella tal är själv ett rationellt tal.

"Större än täljaren" låter som om du inte är alldeles säker på vad rationella tal är. Kan du förklara den frasen? 

Albiki skrev:

Hej N. C., 

Eftersom täljare och nämnare är väldigt lika så kan du utnyttja detta med en omskrivning av kvoten.

    $\frac{a}{a+1} = \frac{(a+1)-1}{a+1} = \frac{a+1}{a+1} - \frac{1}{a+1} = 1-\frac{1}{a+1}.$

Nu räcker det att visa att $\frac{1}{a+1}$ är ett rationellt tal om $a$ är ett rationellt tal, eftersom $1$ är ett rationellt tal och differensen av två rationella tal är själv ett rationellt tal.

Jag hänger inte riktigt med i det tredje steget

Nichrome skrev:

Albiki skrev:

Hej N. C., 

Eftersom täljare och nämnare är väldigt lika så kan du utnyttja detta med en omskrivning av kvoten.

    $\frac{a}{a+1} = \frac{(a+1)-1}{a+1} = \frac{a+1}{a+1} - \frac{1}{a+1} = 1-\frac{1}{a+1}.$

Nu räcker det att visa att $\frac{1}{a+1}$ är ett rationellt tal om $a$ är ett rationellt tal, eftersom $1$ är ett rationellt tal och differensen av två rationella tal är själv ett rationellt tal.

Jag hänger inte riktigt med i det tredje steget

Förstår du inte att kvoten $\frac{a+1}{a+1} = 1$?

Albiki skrev:

Nichrome skrev:

Visa föregående citat

Albiki skrev:

Hej N. C., 

Eftersom täljare och nämnare är väldigt lika så kan du utnyttja detta med en omskrivning av kvoten.

    $\frac{a}{a+1} = \frac{(a+1)-1}{a+1} = \frac{a+1}{a+1} - \frac{1}{a+1} = 1-\frac{1}{a+1}.$

Nu räcker det att visa att $\frac{1}{a+1}$ är ett rationellt tal om $a$ är ett rationellt tal, eftersom $1$ är ett rationellt tal och differensen av två rationella tal är själv ett rationellt tal.

Jag hänger inte riktigt med i det tredje steget

Förstår du inte att kvoten $\frac{a+1}{a+1} = 1$?

Jodå

Nichrome skrev:

Albiki skrev:

Visa föregående citat

Nichrome skrev:

Albiki skrev:

Hej N. C., 

Eftersom täljare och nämnare är väldigt lika så kan du utnyttja detta med en omskrivning av kvoten.

    $\frac{a}{a+1} = \frac{(a+1)-1}{a+1} = \frac{a+1}{a+1} - \frac{1}{a+1} = 1-\frac{1}{a+1}.$

Nu räcker det att visa att $\frac{1}{a+1}$ är ett rationellt tal om $a$ är ett rationellt tal, eftersom $1$ är ett rationellt tal och differensen av två rationella tal är själv ett rationellt tal.

Jag hänger inte riktigt med i det tredje steget

Förstår du inte att kvoten $\frac{a+1}{a+1} = 1$?

Jodå

Vad är då "det tredje steget" som du inte förstår? 

Jodå

Vad är det då du inte förstår?

$\frac{(a +1)-1}{a +1 }$ det är samma sak som $\frac{a}{a +1 }$ hur får man en etta där i nästa uttryck som är $\frac{a +1}{a +1 }$

Antag att $\frac{a}{a + 1}$ är rationellt

$\frac{a}{a + 1} = \frac{p}{q}$.

$$\begin{gathered} \frac{a}{a + 1}=\frac{p}{q} \iff aq =p\left(a + 1\right) \iff aq - pa = p \iff \\ a\left(q - p\right) = p \iff a = \frac{p}{q - p} \end{gathered}$$

eftersom p och q är heltal är a rationellt, TADA!

Nichrome skrev:

$\frac{(a +1)-1}{a +1 }$ det är samma sak som $\frac{a}{a +1 }$ hur får man en etta där i nästa uttryck som är $\frac{a +1}{a +1 }$

Jag förstår inte vad du skriver.

Menar du att du inte förstår bråkräkning? Som exempelvis att $\frac{3-1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$?

Aerius skrev:

Antag att $\frac{a}{a + 1}$ är rationellt

$\frac{a}{a + 1} = \frac{p}{q}$.

$$\begin{gathered} \frac{a}{a + 1}=\frac{p}{q} \iff aq =p\left(a + 1\right) \iff aq - pa = p \iff \\ a\left(q - p\right) = p \iff a = \frac{p}{q - p} \end{gathered}$$

eftersom p och q är heltal är a rationellt, TADA!

Tack!!!!

Aerius skrev:

Antag att $\frac{a}{a + 1}$ är rationellt

$\frac{a}{a + 1} = \frac{p}{q}$.

$$\begin{gathered} \frac{a}{a + 1}=\frac{p}{q} \iff aq =p\left(a + 1\right) \iff aq - pa = p \iff \\ a\left(q - p\right) = p \iff a = \frac{p}{q - p} \end{gathered}$$

eftersom p och q är heltal är a rationellt, TADA!

Nej, det är inte läge för TADA! förrän du utrett det uppenbara problemet i ditt resonemang.

Albiki skrev:

Aerius skrev:

Antag att $\frac{a}{a + 1}$ är rationellt

$\frac{a}{a + 1} = \frac{p}{q}$.

$$\begin{gathered} \frac{a}{a + 1}=\frac{p}{q} \iff aq =p\left(a + 1\right) \iff aq - pa = p \iff \\ a\left(q - p\right) = p \iff a = \frac{p}{q - p} \end{gathered}$$

eftersom p och q är heltal är a rationellt, TADA!

Nej, det är inte läge för TADA! förrän du utrett det uppenbara problemet i ditt resonemang.

Hurdå?

Nichrome skrev:

Albiki skrev:

Visa föregående citat

Aerius skrev:

Antag att $\frac{a}{a + 1}$ är rationellt

$\frac{a}{a + 1} = \frac{p}{q}$.

$$\begin{gathered} \frac{a}{a + 1}=\frac{p}{q} \iff aq =p\left(a + 1\right) \iff aq - pa = p \iff \\ a\left(q - p\right) = p \iff a = \frac{p}{q - p} \end{gathered}$$

eftersom p och q är heltal är a rationellt, TADA!

Nej, det är inte läge för TADA! förrän du utrett det uppenbara problemet i ditt resonemang.

Hurdå?

En grej att tänka på är det står om och endast om. Då behöver man visa dels att om a är ett rationellt tal så är även 1/(a + 1) ett rationellt tal och sen behöver man visa det omvända, om 1/(a+1) är ett rationellt tal då är även a ett rationellt tal.