Bevisa att a²-4b inte är lika med 2

Hej! Jag har fastnat på följande uppgift (1327 i matte 5000)

Jag har kommit till att jag ska bevisa att a inte kan vara ett heltal om b är ett heltal, genom $\sqrt{2 + 4 b}$

Alltså följande påståenden, att både a och b är heltal inte kan samexistera med påståendet att $a = \sqrt{2 + 4 b}$

Jag ska på något sätt förklara och bevisa att man inte kan få ett heltal genom att dra roten ut 4*ett heltal plus två, alternativt bevisa att man inte kan få en kvadrat (med heltal) genom att ta 4*ett tal plus 2. Jag funderar kring om man kan försöka bevisa detta på något vis genom att sätta a som delare såhär $a = \frac{2 + 4 b}{a}$ och på så sätt bevisa något, men jag vet inte riktigt hur. Vilken inriktning bör jag välja, och hur bör jag tänka vidare

Jag tänker att vi kan bryta ut en fyra ur HL:

$a = \pm \sqrt{4 (0, 5 + b)} = \pm 2 \sqrt{0, 5 + b}$

Om vi dividerar bort tvåan får vi då:

$\frac{a}{2} = \pm \sqrt{0, 5 + b}$

Ser du något sätt att ta dig vidare? :)

EDIT: Som påpekats nedanför, ska vi självklart inte glömma den negativa roten!

Smutstvätt skrev:
Jag tänker att vi kan bryta ut en fyra ur HL:

$a = \sqrt{4 (0, 5 + b)} = 2 \sqrt{0, 5 + b}$

Om vi dividerar bort tvåan får vi då:

$\frac{a}{2} = \sqrt{0, 5 + b}$

Ser du något sätt att ta dig vidare? :)

Hej!

Efter att man kommit fram till att (a^2=4b+2) så måste man vara noga när man tar roten ur båda leden för att man inte vet om a eller b är negativa eller positiva. Roten ur a^2 är inte bara a.

Jag tycker däremot att du ska börja från b = (a^2-2)/4

Mvh

Jag vet inte riktigt hur jag tar mig vidare därfrån @smutstvätt men hänger med lite i din tanke. Kom dock på en helt annan tankebana när jag borstade tänderna nyss haha. Det är ju något med delbarheten med 2 och 4 väll. Tänkte för jämna tal kan man ju säga att alla jämna tal i kvadrat är delbara med 4. Därmed kan ett tal som är delbart med 4 och där man adderar 2 inte vara delbart med 4. Vilket är lite hur jag tänker kring vad @Mohammad skrev. För udda tal står det dock ganska still...

Tänkte på det med positiva och negativa värden på a och b. Jag får ju imaginära rötter om b, i alternativ 1 är negativt?

till vad smutstvätt skrev så kan jag ju höja upp vardera sida med 2 och därmed få a^2/4=0,5+b

Utmärkta tankar, och utmärkt bevis @Mohammad Abdalla!

Min tanke är följande: Om a är jämnt är $\pm \frac{a}{2}$ ett heltal. Eftersom b är ett heltal kommer $\sqrt{0, 5 + b}$ aldrig att bli ett heltal (tänk på att $\sqrt{x}$ är samma sak som att fråga sig vilket tal som gånger sig självt blir x. Var skulle decimalen (0,5) komma ifrån om talet vi kvadrerar vore ett heltal?). Detta innebär att a måste vara ett udda tal, men då får vi problem, eftersom $a^{2}$ ska vara lika med $2+4b$ , en summa av två jämna termer, som därmed måste vara jämn. Ett udda tal gånger ett udda tal ger alltid en udda produkt. a kan alltså inte vara jämn, och inte vara udda heller.

Svara

Visa senaste svar