Bevisa att √3 är ett irrationellt tal

Goddag, damer och herrar.

Jag vet ej hur jag skall fortsätta i mitt bevis.

Beviset:

Påstående P: √3 är ett irrationellt tal.

Skall använda mig av ett motsägelse bevis: √3 är ett rationellt tal. Om √3 är ett rationellt tal, skall den kunna skrivas på formen a/b där a och b ej innehåller några gemensamma faktorer.

Antagande A: √3 = a/b.

√3 = a/b => (√3)² = (a/b)² => 3 = a²/b² => 3b² = a². Detta medför att a² är ett udda tal genom att faktorn tre ingår i vänsterdet. Således kan a² omskrivas till (2n + 1)².

3b² = (2n + 1)². Såsom a², kan 3b² omskrivas till 3(2m + 1)². 3(2m + 1)² = (2n + 1)².

3(2m + 1)(2m + 1) = (2n + 1)(2n + 1)

√3 = a/b =(2n + 1)(2n + 1)/3(2m + 1)(2m +1).

Hur ska jag tänka nu?

Hej!

För det första stämmer det tyvärr inte att a måste vara ett udda tal. Hade 3:an i vänsterledet varit en 2:a hade a behövt vara jämnt, men så är ju inte fallet.

Du behöver därför lägga till en sak i ditt antagande: att a/b är förkortat så långt som möjligt. Därefter får du dela upp det i två fall: att b är udda respektive b är jämnt.

Om b är udda, är även b² udda, och således även 3b². Eftersom 3b²= a² är därmed även a udda. Med det överstökat har vi kommit ikapp ditt resonemang. Som du konstaterat har vi

$3 {(2 m + 1)}^{2} = {(n + 1)}^{2}$

vilket kan expanderas till

$12 m^{2} + 12 m + 3 = 4 n^{2} + 4 n + 1$

och om vi flyttar runt, bryter ut 4 och förkortar båda led med 2 får vi

$4 (3 m^{2} + 3 m) = 4 (n^{2} + 4 n) + 1 - 3$

$4 (3 m^{2} + 3 m) = 4 (n^{2} + 4 n) - 2$

$2 (3 m^{2} + 3 m) = 2 (n^{2} + 4 n) - 1$ .

Nu är ju vänsterledet ett jämnt tal oavsett vad m är, och högerledet är ett udda tal oavsett vad n är. Omöjligt! Antagandet måste vara felaktigt.

Vad händer sen om du antar att b är udda?

Svara