Bevisa att (1-2tanx/sin2x)^2 = (1-2tanx/tan2x)^2

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Kan den här tråden hjälpa https://www.pluggakuten.se/trad/1-2-tan-x-sin-2-x--1-2-tan-x-tan-2-x/

Hej Johan, nej den tråden hjälpte inte, jag tror att jag har kollat på alla trådar här med den här frågan. Jag förstår inte hur jag ska förenkla högerledet så att det blir samma som vänsterledet

I ditt uttryck så kan du förkorta bort 2sin(x) i täljare och nämnare. Gör det så börjar det nog klarna. 

Gud hur märkte jag inte det, nu har jag fått fram att HL = (1-(cos^2x-sin^2x)/cos^2x)^2

Men cos^2x-sin^2x = cos2x

Så jag har då (1-cos2x/cos^2x)^2

Vet ej hur jag ska gå vidare nu

Jag har fått fram att HL blir (1/cos^2x -1)^2

Det innebär väl att VL=HL? Om man tar kvadratroten ur dom så att den ena är en negativ rot. Vet ej hur jag ska förklara det i mitt svar dock

Ja, du har då visat att VL = HL, eftersom VL kunde skrivas om som 

$(1-\dfrac{1}{\cos^2x})^2$

och HL kunde skrivas om som 

$(\dfrac{1}{\cos^2x}-1)^2.$

I teorin kan du ju gå från VL till uttrycket ovan, sedan byta tecken i parentesen (ok p.g.a kvadreringen) och göra den omvända omskrivningen så att du kommer till HL. 

Men kan jag säga att VL=HL eller måste jag förklara att dom är lika på grund av att det kan bli negativrot?

VL är lika med HL, eftersom

$(1-\dfrac{1}{\cos^2x})^2 = (\dfrac{1}{\cos^2x}-1)^2$

för alla x där uttrycken är definierade. För tydlighets skull kan man bryta ut en faktor (-1)² = 1. 

Med att bryta ur (-1)^2 menar du då alltså ((-1)(1-1/cos^2x))^2 ?

Eller (-1)^2(1-1/cos^2x)^2

T.ex

$(1-\dfrac{1}{\cos^2x})^2=((-1)\cdot(-1+\dfrac{1}{\cos^2x}))^2=(-1)^2\cdot(-1+\dfrac{1}{\cos^2x})^2=(-1+\dfrac{1}{\cos^2x})^2$

Men ja, det är bara ett specialfall av att 

$(-t)^2=t^2$

för alla reella tal t. 

Tack så jättemycket för all hjälp! Jag förstår nu :)