1 svar
146 visningar
lund behöver inte mer hjälp
lund 529
Postad: 27 nov 2021 23:34 Redigerad: 27 nov 2021 23:46

Bevisa addition-,produkt- och kvotlagen för gränsvärden

Hej,

Jag vill bevisa additions-,produkt- och kvotlagen för gränsvärden för fallet då x går mot ++\infty och undrar hur man ska göra detta? Jag vet hur man bevisar detta rent allmänt eller när x går mot \infty men inte ++\infty, är det någon skillnad i beviset eller kan man endast byta ut xx \rightarrow \infty mot x+x \rightarrow + \infty?

Till exempel så är beviset för additionslagen då xx \rightarrow \infty följande:

Additionslagen säger att: om limf(x)=A\lim f(x) = A och limg(x)=B\lim g(x) = B så gäller att lim(f(x)+g(x))=A+B\lim (f(x)+g(x))=A+B.

Beviset lyder: 

|(f(x)+g(x))-(A+B)||f(x)-A|+|g(x)-B|| (f(x)+g(x))-(A+B)| \le |f(x)-A| + |g(x)-B|<ε\varepsilon. Då finns det tal ω1\omega_1 ω2\omega_2 sådana att x>ω1|f(x)-A|<ε2x>\omega_1 \Rightarrow |f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2} respektive x>ω2|g(x)-B|<ε2x>\omega_2 \Rightarrow |g(x)-B|<\frac{\varepsilon}{2} där ω=max(ω1,ω2)\omega = max(\omega_1,\omega_2), då kommer båda olikheterna att vara sanna för x>ωx>\omega och det gäller att |(f(x)+g(x))-(A+B)|<ε2+ε2=ε| (f(x)+g(x))-(A+B)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon vilket är ett bevis.

farfarMats 1187
Postad: 28 nov 2021 09:53

Detta är ju beviset för fallet + !  Om du vill bevisa satserna för - så gör du likadant men får vända på olikheterna för x.

x betyder  x + precis som  x2  betyder x+2

Svara
Close