6 svar
137 visningar
ljusmoln behöver inte mer hjälp
ljusmoln 47 – Fd. Medlem
Postad: 3 okt 2017 22:01

Bevisa

Utan miniräknare
a) Visa att 1/2 < 2/3 < 3/4

b) Visa, med ett par exempel till, att detta mönster fortsätter.

c) Förklara varför m/n < m+1/n+1 alltid måste gälla för positiva tal där m < n.

 

Jag har försökt jättelänge nu men vet inte hur man ska bevisa det. Först tänkte jag att jag gör om det till decimaltal och att då 0,5 < 0,66 < 0,75 men det kan inte vara sättet man bevisar på grund av fråga c). Hur ska jag ens börja?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 3 okt 2017 22:19

Du ska visa att 1/2 < 2/3 < 3/4, detta är alltså två olikheter som ska visas. Dels ska du visa att

1/2 < 2/3 och dels 2/3 < 3/4

För att visa att

1/2 < 2/3

så subtraherar vi 1/2 från båda sidorna och får

0 < 2/3 - 1/2

Nu gäller det att 2/3 - 1/2 = 4/6 - 3/6 = 1/6. Så påståendet att

1/2 < 2/3

är alltså ekvivalent med påstående att

0 < 1/6

Det senare är trivialt sant, så alltså har vi visat att 1/2 < 2/3. Kan du göra samma sak för olikheten 2/3 < 3/4?

larsolof 2684 – Fd. Medlem
Postad: 3 okt 2017 22:28

Att som du ljusmoln göra om till decimaltal bevisar ju också a)

Ytterligare ett sätt är att förlänga varje bråktal så de får gemensam nämnare

1/2 < 2/3 < 3/4

6x16x2 < 4x24x3 < 3x33x4

612 < 812 < 912

larsolof 2684 – Fd. Medlem
Postad: 3 okt 2017 22:48 Redigerad: 3 okt 2017 23:15

Uppgiften i c)  kan bevisas genom att använda samma teknik som Stokastisk

Förklara varför m/n < (m+1)/(n+1)       borde varit parenteser i uppgiften

mn < m+1n+1       0 < m+1n+1 - mn

gör gemensam nämnare i HL

0 < n(m+1)n(n+1) - (n+1)m(n+1)n         0 < (mn+n) - (mn+m)(n+1)n    

   0 <  mn + n - mn - m(n+1)n           0 < n - m(n+1)n  

eftersom "positiva tal där m < n" gäller så måste HL vara ett bråktal där
både täljare och nämnare är positiva tal, dvs  0  <  HL

ljusmoln 47 – Fd. Medlem
Postad: 4 okt 2017 22:13
larsolof skrev :

Uppgiften i c)  kan bevisas genom att använda samma teknik som Stokastisk

Förklara varför m/n < (m+1)/(n+1)       borde varit parenteser i uppgiften

mn < m+1n+1       0 < m+1n+1 - mn

gör gemensam nämnare i HL

0 < n(m+1)n(n+1) - (n+1)m(n+1)n         0 < (mn+n) - (mn+m)(n+1)n    

   0 <  mn + n - mn - m(n+1)n           0 < n - m(n+1)n  

eftersom "positiva tal där m < n" gäller så måste HL vara ett bråktal där
både täljare och nämnare är positiva tal, dvs  0  <  HL

Men det blir väl inte korrekt? T.ex. om m=2 n=3

232+13+123340 34-230 912-8120 112Då0  n-m(n+1)n0 3-23x3+1=110 inte 112?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 4 okt 2017 22:20

Om n = 3 så är n+1 = 4.Alltså är n(n+1) = 12, precis som larsolof skrev.

ljusmoln 47 – Fd. Medlem
Postad: 4 okt 2017 22:35
Smaragdalena skrev :

Om n = 3 så är n+1 = 4.Alltså är n(n+1) = 12, precis som larsolof skrev.

Oj, jag glömde prioriteringsreglerna. Tack!

Svara
Close